곡선 $y = 3^x - \frac{8}{3}$이 $x$축과 만나는 점을 A, 곡선 $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$과 만나는 점을 B라 할 때, 삼각형 AOB의 넓이를 계산하는 과정을 아래 단계에 따라 서술하시오. (단, O는 원점이다.)

(1) 점 B의 $y$좌표 값을 구하시오.
(2) 삼각형 AOB의 넓이를 구하시오.

두 양수 $a$, $b$에 대하여 곡선 $y = \sin ax$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $\frac{\pi}{6}$만큼, $y$축의 방향으로 $b$만큼 평행이동 한 그래프를 나타내는 함수를 $f(x)$라 하자. 함수 $f(x)$의 주기가 $3\pi$이고 $f\left(\frac{2}{3}\pi\right) = \sqrt{3}$일 때, $f\left(-\frac{\pi}{12}\right)$의 값을 계산하는 과정을 아래 단계에 따라 서술하시오.

(1) $a \times b$의 값을 구하시오.
(2) $f\left(-\frac{\pi}{12}\right)$의 값을 구하시오.

등차수열 $\{a_n\}$에 대하여 첫째항부터 제 $n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자. $a_3 = 11$, $a_5 + S_8 = 155$일 때, $S_n > 100$을 만족하는 자연수 $n$을 계산하는 과정을 아래 단계에 따라 서술하시오.

(1) $a_1$의 값을 구하시오.
(2) $S_n > 100$을 만족하는 $n$의 최솟값을 구하시오.

삼차함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(3)$의 값을 계산하는 과정을 아래 단계에 따라 서술하시오.

(가) 모든 실수 $a$에 대하여 $\lim_{x \to a} \frac{f(x)+f(-x)}{x-a}$의 값이 존재한다.
(나) $\lim_{x \to 1} \frac{f(x)+2}{x-1} = 4$

(1) $f(x) = px^3 + qx^2 + kx + l$이라고 할 때, $\frac{q}{p}$의 값을 구하시오. (단, $p, q, k, l$은 상수이고, $p \ne 0$이다.)
(2) $f(3)$의 값을 구하시오.

함수 $f(x) = \begin{cases} x^2+ax & (x < 2) \\ \frac{1}{2}x-a & (x \ge 2) \end{cases}$가 모든 실수 $x$에서 연속이다. 닫힌구간 $[0, 3]$에서 함수 $f(x)$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 할 때, $M+m$의 값을 계산하는 과정을 아래 단계에 따라 서술하시오. (단, $a$는 상수이다.)

(1) $a$의 값을 구하시오.
(2) $M+m$의 값을 구하시오.

다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x-h)}{h} = -4x^3 + 2x^2 + 2$를 만족한다. 함수 $g(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+4h)-f(x-2h)}{2h}$라 할 때, $g(0)+g(1)$의 값을 계산하는 과정을 아래 단계에 따라 서술하시오.

(1) $f'(x)$를 구하시오.
(2) $g(0)+g(1)$의 값을 구하시오.

다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $\int_{x-1}^{x+1} (f(t)+2t)dt = ax^2 + 4$를 만족시킨다. $\int_{0}^{3} f(t)dt = \int_{0}^{1} f(t)dt + 20$일 때, 상수 $a$값을 계산하는 과정을 아래 단계에 따라 서술하시오.

(1) $a$를 이용하여 $\int_{x-1}^{x+1} f(t)dt$를 $x$에 관한 식으로 나타내시오.
(2) $a$의 값을 구하시오.