그림과 같이 두 곡선 $y = e^{\frac{x}{2}} + e^{-\frac{x}{2}}$와 $y = -e^{\frac{x}{2}} - e^{-\frac{x}{2}} + a$와 $x$축, $y$축, 직선 $x = 3$으로 둘러싸인 도형을 $S$라 하자. 다음 물음에 답하시오. (단, $a > 4$이고, $e$는 자연상수이다.) [총 25점] (1) 두 곡선 $y = e^{\frac{x}{2}} + e^{-\frac{x}{2}}$와 $y = -e^{\frac{x}{2}} - e^{-\frac{x}{2}} + a$의 교점 중 제1사분면 위의 점 $P$에서의 두 곡선의 접선의 기울기의 곱이 $-\frac{1}{4}\left(e - \frac{1}{e}\right)^2$이 되도록 하는 상수 $a$의 값을 구하시오. [7점]

(2) 소문항 (1)에서 구한 $a$의 값을 이용하여, 도형 $S$의 넓이를 구하시오. [8점]

(3) 소문항 (1)에서 구한 $a$의 값을 이용하여, 도형 $S$의 둘레의 길이를 구하시오. [10점]

중심이 $O(0, r)$이고 반지름의 길이가 $r$인 원 $C : x^2 + (y - r)^2 = r^2$과 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다. (단, $r > 0$이다.)

(가) $f(0) = 0$
(나) $f'(0) = 1$
(다) $f(r) < r$

다음 물음에 답하시오. [총 25점]

(1) 원 $C$와 곡선 $y = f(x)$가 $0 < x < r$에서 적어도 하나의 교점을 가짐을 보이시오. [10점]

(2) 소문항 (1)에서 구한 교점 중 하나를 $P$라 하고 점 $P$의 $x$좌표를 $t$라 할 때, 원 $C$의 반지름의 길이를 $t$와 $f(t)$에 관한 식으로 나타낸 함수 $r(t)$를 구하시오. [7점]

(3) 소문항 (2)에서 구한 함수 $r(t)$에 대하여, $\lim_{t\to0^+} \frac{r(t)}{t}$의 값을 구하시오. [8점]

두 다항함수 $f(x)$와 $g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(x) = x^3 - 3x$
(나) $\lim_{x\to\infty} \frac{\int_{0}^{x} f(t)g(t) dt}{\{f(x)\}^2} = \frac{1}{3}$
(다) $g(0) = 0$

다음 물음에 답하시오. [총 25점]

(1) 닫힌구간 $[1, 3]$에서 함수 $h(x) = x^2 - g(x)$의 최솟값이 $4$가 되도록 하는 다항함수 $g(x)$를 구하시오. [9점]

(2) 소문항 (1)에서 구한 다항함수 $g(x)$에 대하여, 정적분 $\int_{-1}^{0} \frac{g(x) + 3}{f(x) + 2} dx$의 값을 구하시오. [7점]

(3) 소문항 (1)에서 구한 $g(x)$에 대하여, 두 곡선 $y = f(x)$와 $y = g(x) + kx$가 한 점에서 접하고 또 다른 한 점에서 만나도록 하는 상수 $k$의 값을 모두 구하고, $k$의 값에 따라 두 곡선 $y = f(x)$와 $y = g(x) + kx$로 둘러싸인 도형의 넓이를 각각 구하시오. [9점]

중심이 $O(0, 0)$이고 반지름의 길이가 $1$인 원 $C : x^2 + y^2 = 1$에 대하여 다음 물음에 답하시오. [총 25점]

(1) $0 < x < \frac{\pi}{2}$인 실수 $x$에 대하여 $\sin x < x < \tan x$임을 보이고, 실수 $t$에 대하여 $\lim_{t\to0} \frac{\sin t}{t} = 1$임을 보이시오. [9점]

(2) $n \ge 2$인 모든 자연수 $n$에 대하여 원 $C$ 위에 순서대로 놓인 $2n$개의 점 $P_0, P_1, \dots, P_{2n-1}$이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 자연수 $k$가 홀수이면 $\angle P_0 O P_k = \frac{3k-1}{3n}\pi$
(나) 자연수 $k$가 짝수이면 $\angle P_0 O P_k = \frac{k}{n}\pi$

$2n$각형 $P_0 P_1 \dots P_{2n-1}$의 넓이를 $S(n)$이라 할 때, $S(n)$을 구하고, $\lim_{n\to\infty} S(2026^n)$의 값을 구하시오. [7점]

(3) 원 $C$의 중심 $O(0, 0)$와 이 원 위의 한 점 $B(-1, 0)$, 직선 $x = \frac{1}{2}$ 위의 점 $A\left(\frac{1}{2}, t\right)$에 대하여 일반각 $\angle BAO$를 $\theta(t)$라 할 때, $\tan \theta(t)$를 $t$에 관한 식으로 나타내고, 이를 이용하여 $\theta(t)$의 최댓값과 최솟값을 구하시오. (단, $-\frac{\pi}{2} < \theta(t) < \frac{\pi}{2}$이고, $t$는 실수이다.) [9점]

자연수 $n$에 대하여 점 $(n, 0)$을 지나는 직선 $l$이 곡선 $y = e^{-x}$ 위의 점 $P$에서 이 곡선과 접한다고 할 때, 다음 물음에 답하시오. [총 25점]

(1) 접선 $l$의 방정식과 접점 $P$의 좌표를 구하시오. [8점]

(2) 곡선 $y = e^{-x}$과 접선 $l$ 및 두 직선 $y = 0$, $x = 2n$으로 둘러싸인 도형 중 제1사분면에 놓인 부분의 넓이를 $a_n$이라 할 때, $\lim_{n\to\infty} e^n a_n$의 값을 구하시오. [8점]

(3) 점 $P$를 지나고 접선 $l$에 수직인 직선과 점 $P$를 지나고 $y$축에 평행한 직선 및 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $b_n$이라 할 때, $\sum_{n=1}^\infty b_n$의 값을 구하시오. [9점]

그림과 같이 두 직선 $y = a(x - 1)$과 $y = mx$의 교점을 $P$라 하고, $O(0, 0)$, $Q(1, 0)$이라 하자. (단, $0 < m < a$이다.) 다음 물음에 답하시오. [총 25점] (1) $a = 2\sqrt{3}$, $m = \frac{\sqrt{3}}{7}$일 때, $\cos(\angle OPQ)$의 값을 구하시오. [7점]

(2) $a = 2\sqrt{3}$, $m = \frac{\sqrt{3}}{7}$이고 제3사분면에서 직선 $y = mx$ 위에 있는 점 $R$이 $RP = 2$를 만족시킬 때, $RQ^2$의 값을 구하시오. [8점]

(3) $k > 1$인 상수 $k$와 $0 < \theta < \frac{\pi}{2k}$인 실수 $\theta$에 대하여 $a = \tan k\theta$, $m = \tan \theta$라 하자. 선분 $OP$의 길이를 $f(\theta)$라 할 때, $\lim_{\theta\to0^+} f(\theta)$의 값을 $k$에 대한 식으로 나타내시오. [10점]

$a > 4$인 실수 $a$에 대하여 두 함수 $f(x)$, $g(x)$는 $f(x) = x^2(x - 3a + 1)$, $g(x) = -ax(x + 3)$이다. 다음 물음에 답하시오. [총 25점]

(1) 두 곡선 $y = f(x)$와 $y = g(x)$ 및 직선 $x = -2$로 둘러싸인 도형의 넓이가 $58$일 때, 상수 $a$의 값을 구하시오. [8점]

(2) 양수 $b$에 대하여 곡선 $y = g(x) + b$와 곡선 $y = f(x)$가 어떤 한 점에서 공통접선을 가질 때 상수 $b$의 값을 구하고, 두 곡선 $y = f(x)$와 $y = g(x) + b$로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. [8점]

(3) 실수 $c$와 함수 $f(x)$에 대하여 함수 $h(x)$를 \[ h(x) = \begin{cases} f(x) & (x < c) \\ f(2c - x) & (x \ge c) \end{cases} \] 라 하자. 미분계수의 정의를 이용하여 함수 $h(x)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 $c$의 값을 모두 구하시오. [9점]

함수 $f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}$ (단, $ad - bc \neq 0, c \neq 0$)가 자연수 $n$에 대하여 다음 조건을 만족한다.

(가) 함수 $y = f(x)$의 그래프의 점근선은 두 직선 $x = n$, $y = 0$이다.
(나) 점 $N(n, 0)$과 함수 $y = f(x)$의 그래프 위의 점 $P(2n, f(2n))$에 대하여 선분 $PN$을 $2:1$로 외분하는 점을 $Q$라 하자. 이때 직선 $PQ$와 점 $P$를 지나고 $y$축에 평행한 직선 및 점 $Q$를 지나고 $x$축에 평행한 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 $\frac{2}{n^2}$이다.

(단, $f(2n) > 0$이다.) 다음 물음에 답하시오. [총 25점]

(1) $f(x)$를 구하시오. [8점]

(2) $n = 1$일 때, 곡선 $y = f(x)$와 이 곡선을 직선 $y = x$에 대하여 대칭이동한 곡선, 직선 $x = 1$ 및 두 점 $A(1, 0)$, $B(2, 1)$을 이은 선분 $AB$로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. [8점]

(3) $n+2 \le x \le n+3$인 모든 실수 $x$에 대하여 $(n+1)^2 f(x) \le n^2 f(x-1)$이 성립하는 자연수 $n$의 최솟값을 구하시오. [9점]

함수 $f(x) = x^3 - x^2$에 대하여 다음 물음에 답하시오. [총 25점]

(1) $y$축 위의 점 $(0, a)$에서 곡선 $y = f(x)$에 그을 수 있는 접선의 개수가 $1$인 실수 $a$의 범위를 구하시오. [7점]

(2) $y$축 위의 점 $(0, a)$에서 곡선 $y = f(x)$에 그은 모든 접선에 대하여 접점들의 $x$좌표의 합이 $0$이 되는 실수 $a$의 값을 모두 구하시오. [10점]

(3) $y$축 위의 점 $(0, c)$에서 곡선 $y = x^3$에 그을 수 있는 접선의 개수가 $3$인 실수 $c$의 범위를 구하시오. [8점]

다음 물음에 답하시오. [총 25점]

(1) 좌표 평면 위에 한 변의 길이가 $t$ ($0 < t \le \sqrt{3}$)인 두 정삼각형 $ABC$, $DEF$가 변 $AB$와 변 $DE$는 $y$축에 수직이고, 꼭짓점 $C$, $F$는 $y$축 위에 있으며, $F$의 좌표가 $(0, 0)$이 되도록 놓여 있다. 실수 $t$에 대하여 점 $C$의 좌표를 $(0, t)$라 할 때, 두 정삼각형의 내부의 공통부분으로 이루어진 도형의 넓이 $S(t)$를 $t$에 대한 식으로 표현하시오. (단, $0 < t \le \sqrt{3}$이다.) [10점]

(2) 위의 (1)에서 구한 식으로부터 함수 $S(t)$의 최댓값을 구하고, 함수 $S(t)$가 최대일 때 두 정삼각형의 내부의 공통부분으로 이루어진 도형의 둘레의 길이를 구하시오. [7점]

(3) 한 변의 길이가 $1$인 정육각형 $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$에 놓인 두 삼각형 $A_1C_1E_1$과 $B_1D_1F_1$의 내부로 이루어진 도형에서 이 두 삼각형의 내부의 공통부분인 정육각형 $A_2B_2C_2D_2E_2F_2$의 내부를 뺀 도형의 넓이를 $S_1$이라 하고, 정육각형 $A_2B_2C_2D_2E_2F_2$에 놓인 두 삼각형 $A_2C_2E_2$와 $B_2D_2F_2$의 내부로 이루어진 도형에서 이 두 삼각형의 내부의 공통부분인 정육각형 $A_3B_3C_3D_3E_3F_3$의 내부를 뺀 도형의 넓이를 $S_2$라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 도형의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} S_n$을 구하시오. [8점]

자연수 $n$과 원점 $O$, 점 $A(0, 1)$에 대하여 직선 $y = nx$ 위에 $\overline{OB_n} = \overline{OC_n} = n + 1$이면서 $\angle OAB_n = \angle OAC_n$이 되도록 제4사분면의 점 $B_n$과 제1사분면의 점 $C_n$을 잡는다. $\angle OAB_n = \theta_n$, $\angle AOC_n = \alpha_n$이라 하자. \[ n\theta_n = \frac{(n+1)\pi}{2}, \quad \alpha_n = \frac{\pi}{2} - \theta_n \] 다음 물음에 답하시오. [총 25점]

(1) $\sin\theta_n$과 $\tan\alpha_n$을 각각 $n$에 대한 식으로 나타내시오. [5점]

(2) $\displaystyle\lim_{n\to\infty} n^2\theta_n\alpha_n$을 구하시오. [10점]

(3) 삼각형 $AB_nC_n$의 넓이를 $T_n$이라 할 때, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{T_n}{n}$의 값을 구하시오. [10점]

함수 $f(x)$가 모든 실수에서 미분가능하며, $f'(x)$가 모든 실수에서 연속이고, $f(x)$가 다음 조건을 모두 만족시킨다.

(가) 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x+2) = f(x) + 2$
(나) 모든 실수 $x$에 대하여 $f(-x) = -f(x)$
(다) $\displaystyle\int_0^1 xf'(x)\,dx = 3$

다음 물음에 답하시오. [총 25점]

(1) 방정식 $f'(x) = 1$의 서로 다른 실근이 열린구간 $(0, 2)$에 두 개 이상 존재함을 보이시오. [7점]

(2) 함수 $g(x) = f(x+1) - 1$에 대하여 $\displaystyle\int_0^1 xg'(x)\,dx$의 값을 구하시오. [8점]

(3) $\displaystyle\int_0^4 f(x)\,dx$의 값을 구하시오. [10점]

최고차항의 계수가 $1$인 다항함수 $f(x)$의 그래프가 원점을 지나고, 함수 $G(x) = \displaystyle\int_0^x f(t)\,dt$에 대하여 사차함수 $$ H(x) = G(x)^2 - \frac{1}{3}G(x)^3 $$ 로 정의할 때 $H'(x) = 0$이라 하자. 다음 물음에 답하시오. [총 25점]

(1) 다항함수 $f(x)$와 $G(x)$를 구하시오. [10점]

(2) 구간 $[0, 1]$에서의 $G(x)$의 평균변화율을 구하고, 그 값과 $G'(c)$가 같게 되는 실수 $c$의 값을 구간 $[0, 1]$에서 구하시오. [7점]

(3) $\displaystyle\int_0^1 |G''(x)|\,dx$의 값을 구하시오. [8점]

모든 자연수 $n$에 대하여 $$ a_n = \int_0^{\frac{1}{n}} \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \sin\!\left(\arcsin t\right)\,dt $$ 로 정의된 수열 $\{a_n\}$에 대하여 다음 물음에 답하시오. [총 25점]

(1) $a_n = \alpha \sin\!\left(\frac{\pi}{2n}\right) + \beta \cos\!\left(\frac{\pi}{2n}\right)$를 만족시키는 상수 $\alpha,\,\beta$를 구하시오. [7점]

(2) $\displaystyle\lim_{n \to \infty} n^2 a_n$의 값을 구하시오. [10점]

(3) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2$의 값을 구하시오. [8점]

아래 그림과 같이 한 직선 $m$ 위에 지름이 놓인 두 반원의 반지름이 모두 $1$이며, 중심이 각각 $O_1$, $O_2$이고, 직선 $m$ 위의 한 점 $A$에 대하여 $\overline{O_1A} = \overline{O_2A} = 1$이다. 반원 $O_1$ 위의 한 점 $P_1$에 대해 $\angle P_1O_1A = \theta$라고 할 때, 반직선 $O_1P_1$이 반원 $O_2$와 만나는 두 점 중 점 $P_1$에 가까운 순서대로 각각 $P_2$, $Q$라 하자. 다음 물음에 답하시오. (단, $0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$이다.) [총 25점]

(1) $\sin\theta = \dfrac{\sqrt{7}}{4}$일 때, 삼각형 $P_1O_1Q$의 넓이를 구하시오. [7점]

(2) 선분 $P_1P_2$의 길이를 $l(\theta)$라고 할 때, $l(\theta)$의 식을 구하고, $\displaystyle\lim_{\theta \to \frac{\pi}{2}^{-}} \frac{l(\theta)}{\frac{\pi}{2} - \theta}$의 값을 구하시오. [8점]

(3) 삼각형 $O_1AP_2$의 넓이를 $S_1(\theta)$, 삼각형 $O_1O_2Q$의 넓이를 $S_2(\theta)$, 사각형 $AO_2P_1P_2$의 넓이를 $T(\theta)$라 하자. 이때 $S_1(\theta)$, $S_2(\theta)$, $T(\theta)$를 구하고, $\displaystyle\lim_{\theta \to \frac{\pi}{2}^-} \frac{T(\theta) - S_1(\theta) - S_2(\theta)}{\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)^2}$의 값을 구하시오. [10점]

수정이가 인터넷 사이트에 가입하기 위해서 아이디를 만들고 비밀번호를 정하고 있다. 이 사이트는 비밀번호의 각 자리에 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 중 하나의 숫자를 사용하도록 한다고 하자. 다음 물음에 답하시오. [총 25점]

(1) 같은 숫자가 세 번 이상 들어있는 다섯 자리 비밀번호(예를 들어 00111, 50559 등)의 가짓수를 구하시오. [7점]

(2) 같은 숫자가 세 번 이상 연속하여 나타나는 다섯 자리 비밀번호(예를 들어 01111, 12223 등)의 가짓수를 구하시오. [10점]

(3) 이 사이트의 보안정책은 사용자가 다섯 자리 비밀번호를 사용하도록 하지만, 사용자가 선택한 비밀번호에 같은 숫자가 세 번 이상 연속하여 나타나면 뒤쪽에 두 자리를 추가하여 일곱 자리의 비밀번호를 사용하도록 강제한다. 이러한 보안정책에 따라 수정이가 선택할 수 있는 모든 비밀번호의 가짓수를 구하시오. [8점]

다항함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다. 다음 질문에 답하시오. [총 25점]

(가) $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left\{ \frac{f(x)}{x^2} - x \right\} = -1$
(나) $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = \frac{1}{4}$

(1) $f(x)$를 $x$에 대한 식으로 나타내시오. [7점]

(2) 함수 $y = f(x)$의 그래프의 개형을 그리고, 그래프 위에 극대 및 극소를 나타내는 점의 좌표와 변곡점의 좌표를 표시하시오. 또한, 곡선 $y = f(x)$의 변곡점을 $P(a, f(a))$라 할 때 $f(a-x) = 2f(a) - f(a+x)$가 성립함을 설명하시오. [8점]

(3) $g(x) = \dfrac{1}{2} \left\{ f\left(\frac{1}{3} - x\right) + f\left(\frac{1}{3} + x\right) \right\}$라 하고, 모든 실수 $k$에 대해 함수 $p(k)$를 집합 $$ \{ x \mid |f(x) - g(x)| = k,\, x\text{는 실수} \} $$ 의 원소의 개수라고 정의하자. 함수 $p(k)$를 구하고, 이 함수가 불연속인 $k$의 값을 모두 찾으시오. [10점]

함수 $f(x)$와 $g(x)$가 실수 전체집합에서 미분가능하고 도함수 $f'(x)$와 $g'(x)$가 실수 전체집합에서 연속이다. 모든 자연수 $n$에 대하여 함수 $H(n)$을 다음과 같이 정의하자. $$ H(n) = \int_0^n f'(x)g(2n-x)\,dx - \int_n^{2n} g'(x)f(2n-x)\,dx $$ 다음 질문에 답하시오. [총 25점]

(1) $f(0) = 1$, $f(1) = 2$, $g(1) = 5$, $g(2) = -1$일 때, $H(1)$의 값을 구하시오. [5점]

(2) $f(x) = a^x$이고 $g(x) = \sin \dfrac{\pi}{4}x$일 때, $H(n)$을 $n$에 대한 식으로 나타내시오. (단, $a > 0$, $a \ne 1$이다.) [10점]

(3) 위의 $H(n)$에 대하여 $a = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$일 때, 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \{H(4n-3) + H(4n-1)\}$의 합을 구하시오. [10점]

중심이 $A(0, 1)$이고 원점 $O(0, 0)$을 지나는 원 $C$ 위에 $\angle OAP_1 = \angle OAP_2 = \theta$인 두 점 $P_1$, $P_2$가 아래 그림과 같이 놓여 있다. 다음 질문에 답하시오. (단, $0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$이다.) [총 25점]

(1) 원 $C$와 $f(x) = ax^2 + bx + c$의 그래프가 두 점 $P_1$, $P_2$에서 만나고, 점 $P_1$, $P_2$에서 원 $C$의 접선과 곡선 $y = f(x)$의 접선이 일치한다. $\theta = \dfrac{\pi}{3}$일 때, 점 $P_1$에서 원 $C$의 접선의 방정식과 함수 $f(x)$를 구하시오. [8점]

(2) $\theta = \dfrac{\pi}{3}$일 때, 원 $C$와 곡선 $y = f(x)$로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하시오. [10점]

(3) 원 $C$와 $y$축 위의 한 점에서 만나고, 원 $C$ 위의 점 $P_1$과 $P_2$에서의 두 접선에 모두 접하는 원 중 작은 원의 반지름을 $r_1$, 큰 원의 반지름을 $r_2$라 하자. $\dfrac{r_2}{r_1} = 4$일 때, $\cos\theta$의 값을 구하시오. [7점]

아래 그림과 같이 $A(0,0)$, $B(4,4)$를 연결하는 도로망이 주어졌다. 성신이는 지점 $A$에서 출발하여 지점 $B$로 도로망을 따라 최단 경로로 이동하고, 수정이는 지점 $B$에서 출발하여 지점 $A$로 도로망을 따라 최단 경로로 이동한다. 도로망에서 두 지점 사이의 거리는 도로망을 따라 이동할 수 있는 최단 경로의 길이로 정의한다. 예를 들면 두 지점 $(1,2)$와 $(3,3)$ 사이의 거리는 $|3-1| + |3-2| = 3$이다. 다음 질문에 답하시오. (단, 두 사람은 동시에 출발하여 같은 속력으로 이동하고, 갈림길에서 가능한 다음 경로는 모두 같은 확률로 선택된다.) [총 25점]

(1) 성신이와 수정이가 거리 $4$ 만큼 이동한 후 멈추었을 때, 서로 만날 확률을 구하시오. [7점]

(2) 성신이가 거리 $3$ 만큼 이동한 후 멈춘 지점을 $P$라 하고, 수정이가 거리 $3$ 만큼 이동한 후 멈춘 지점을 $Q$라 하자. 성신이(지점 $P$)와 수정이(지점 $Q$) 사이의 거리를 확률변수 $X$라 할 때, $X$의 확률분포표를 구하시오. [10점]

(3) 위에서 구한 확률변수 $X$의 확률분포표로부터 $X$의 기댓값(평균)과 표준편차를 구하시오. [8점]