연립방정식 $\begin{cases} 2^{a+1} + 3^{b+2} = 113 \\ 2^{a+2} + 3^{b+1} = 91 \end{cases}$의 해 $a$와 $b$에 대하여,
$$\log_a\left(a+\frac{1}{b}\right)^2 + \log_b\left(b+\frac{1}{a}\right) = \log_b\frac{m}{n}$$
을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오. (단, $m$과 $n$은 서로소인 자연수이다.)

(1) $a+b$의 값을 구하시오.
(2) $n\sqrt{m}$의 값을 구하시오.

$0 < x < \pi$에서 방정식 $\frac{1}{2-2\cos x} - \frac{1}{2+2\cos x} = \frac{2}{3}$의 해를 $\alpha$라 하자. 외접원의 반지름 길이가 $\sqrt{15}$인 삼각형 $\text{ABC}$에 대하여 $\cos A = \frac{1}{2}\cos\alpha$를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) $\alpha$의 값을 구하시오.
(2) $\sin A$의 값을 구하시오.
(3) 선분 $\overline{\text{BC}}$의 길이를 구하시오.

삼각형 $\text{ABC}$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\sin^2 A = \sin^2 B + 2\sin^2 C$
(나) $\sin B = 2\sin C$

선분 $\overline{\text{BC}}$의 길이는 $2\sqrt{6}$이고, 변 $\text{AB}$ 위에 점 $\text{E}$와 변 $\text{AC}$ 위에 점 $\text{F}$에 대하여 삼각형 $\text{AEF}$의 넓이가 삼각형 $\text{ABC}$ 넓이의 $\frac{1}{4}$이다. 선분 $\overline{\text{AE}}$의 길이를 $p$, 선분 $\overline{\text{AF}}$의 길이를 $q$라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) $\cos A$의 값을 구하시오.
(2) $pq$의 값을 구하시오.
(3) 선분 $\overline{\text{EF}}$의 길이의 최솟값을 구하시오.

모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n < a_{n+1}$이고, 첫째항 $a_1$과 공비의 곱이 1인 등비수열 ${a_n}$에 대하여 수열 ${b_n}$을 $b_n = a_{3n-1}$이라 하자. 수열 ${a_n}$의 첫째항에서 제 $n$항까지의 합을 $A_n$, 수열 ${b_n}$의 첫째항에서 제 $n$항까지의 합을 $B_n$이라 할 때, $2A_9 = 7B_3$을 만족시킨다. 다음 물음에 답하시오.

(1) 등비수열 ${a_n}$의 공비를 구하는 과정을 서술하고, 공비를 구하시오.
(2) $\frac{b_n}{a_n} > 1024$를 만족시키는 가장 작은 자연수 $n$을 구하시오.
(3) $\log_{b_3} a_5$의 값을 구하시오.

수열 ${a_n}$이 아래의 조건을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

(가) 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} \ne a_n$이다.
(나) $\sum_{k=1}^n a_k = a_n^2 + (n+1)a_n$

(1) 수열 ${a_n}$의 첫째항 $a_1$을 구하는 과정을 서술하고, $a_1$을 구하시오.
(2) $\left|\sum_{k=1}^n a_k\right| > 900$을 만족시키는 가장 작은 자연수 $n$을 구하시오.

두 다항함수 $f(x)$와 $g(x)$가
$$g(x) = x^2 + \int_0^1 (2x+t)f(t)dt, \quad \int_1^x f(t)dt = xg(x)+2x+2$$
를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 함수 $g(x)$를 구하시오.
(2) 함수 $f(x)$를 구하시오.
(3) 직선 $y=2$와 곡선 $y=f(x)-g(x)$로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

함수 $f(x) = \begin{cases} |(x+a)(x^2-3x)| & (x \ge 0) \\ |(x+b)(x^2+3x)| & (x < 0) \end{cases}$ 라 하자. 함수 $f(x)$는 $x=0$에서만 미분가능하지 않을 때, 다음 물음에 답하시오. (단, $a$와 $b$는 상수이다.)

(1) $a$와 $b$의 값을 구하는 과정을 서술하고, $a, b$의 값을 구하시오.
(2) 함수 $y=f(x)$의 그래프와 직선 $y=n$과의 교점의 개수를 $g(n)$이라 할 때, $g(0)+g(2)+g(4)+g(6)$의 값을 구하시오.

최고차항의 계수가 1인 사차함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(x)$의 도함수 $y=f'(x)$의 그래프는 $x$축과 $x=-1$에서 만나고, $x=alpha\ (\alpha > 0)$에서 접한다.
(나) $f(\alpha)=0$이고, $f(0)=-16$이다.

구간 $-1 \le x \le t\ (t \ge -1)$에서 $f'(x)$의 최댓값을 $g(t)$라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 위의 조건을 만족시키는 양수 $\alpha$의 값을 구하시오.
(2) $g\left(\frac{3}{2}\right)$의 값을 구하시오.
(3) $\int_{-1}^4 g(t)dt$의 값을 구하시오.

서로 다른 네 수 $-3, a, b, ab$에 대하여 $-3, a, b$는 이 순서대로 공차가 $d$인 등차수열을 이루고, $a, b, ab$는 이 순서대로 공비가 $r$인 등비수열을 이룰 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) $d$의 값을 구하시오. (3.2점)
(2) $r$의 값을 구하시오. (3.2점)
(3) $ab$의 값을 구하시오. (3.6점)

$y = x^2 - 2(\log_2 a + 1)x + (\log_2 a + 7)$의 그래프가 $x$축과 만나지 않도록 하는 양수 $a$의 범위를 $2^m < a < 2^n$이라 하자.

(1) $m$의 값을 구하시오. (2.1점)
(2) $n$의 값을 구하시오. (2.1점)
(3) 위에서 구한 $m, n$에 대하여 부등식 $\log_4 \{ x^2 + (m-n)x + mn \} \le \log_2 \sqrt{mn(m-n)}$을 만족시키는 모든 정수 $x$의 합을 구하시오. (5.8점)

함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $-2x^2 + 2x \le f(x) \le x^2 + 2x$를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\{f(x)\}^2}{3x^2 + x f(x)}$의 값을 구하시오. (4.8점)
(2) $\lim_{x \to -2} \frac{f(x+2) - ax + b}{x^2 - 4} = 4$를 만족시키는 두 상수 $a, b$의 값을 구하는 과정을 서술하고, $a, b$의 값을 구하시오. (5.2점)

수열 ${a_n}$에서 $a_{50} = \left(\frac{1}{2}\right)^{43}$ 이고, 모든 자연수 $n$에 대하여 $2a_{n+1} + 3(a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n) = 10$을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) $a_2$의 값을 구하시오. (5점)
(2) $a_1$의 값을 구하시오. (2.2점)
(3) 수열의 합 $\sum_{k=1}^5 a_k$의 값을 구하시오. (2.8점)

$x$에 대한 방정식 $(\log x)^2 - (a+2)\log x - a + 3 = 0$의 두 근을 $p, q$라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) $q = 10p$를 만족시키는 음수 $a$의 값을 구하시오. (4점)
(2) 위에서 구한 $a$의 값에 따른 두 근 $p$를 구하시오. (3.2점)
(3) 위에서 구한 $a$의 값에 따른 두 근 $q$를 구하시오. (2.8점)

그림과 같이 $\overline{\text{AB}}=8, \overline{\text{BC}}=6$인 직각삼각형 $\text{ABC}$에서 선분 $\text{AB, BC, CA}$를 $1:m$으로 내분하는 점을 각각 $\text{P, Q, R}$이라 하자. 삼각형 $\text{ABC}$의 넓이를 $S_1$, 삼각형 $\text{PQR}$의 넓이를 $S_2$라고 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, $m>1$이고 $\angle\text{CAB}=\theta$)

(1) 삼각형 $\text{PBQ}$의 넓이를 $m$에 관한 식으로 나타내시오. (2.6점)
(2) 두 삼각형 $\text{QCR}$과 $\text{RAP}$의 넓이가 같음을 보이는 과정을 서술하시오. (5.2점)
(3) $S_2 = \frac{1}{2}S_1$을 만족시키는 $m$의 값을 구하시오. (2.2점)

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$가 구간 $[0, 6)$에서
$$f(x) = \begin{cases} -x^2+2x+c & (0 \le x < 2) \\ \frac{1}{2}x^2-4x & (2 \le x < 6) \end{cases}$$
이고, 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) = f(x+6)$을 만족시킨다. 함수 $f(x)$가 실수 전체에서 연속일 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 상수 $c$의 값을 구하시오. (2점)
(2) 열린구간 $(-100, 100)$에서 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 극소인 모든 실수 $a$를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 $a_1, a_2, \dots, a_m$이라 할 때, $\sum_{k=1}^m a_k$의 값을 구하시오. (3.4점)
(3) $x=b$에서 극대인 모든 실수 $b$를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 $b_1, b_2, \dots, b_n$이라 할 때, $\sum_{k=1}^n |b_k|$의 값을 구하시오. (4.6점)

함수 $f(x) = \begin{cases} -x^2+1 & (0 \le x < 1) \\ 3x^2-3 & (1 \le x \le 3) \end{cases}$ 라 하자.

(1) $\int_0^a f(x)dx = \frac{14}{3}$ 인 $a$의 값을 구하시오. (1.7점)
(2) $0 < x \le 2$에서 $S(x) = \int_x^{x+1} f(t)dt$일 때, 함수 $S(x)$를 구하시오. (3.6점)
(3) 함수 $S(x)$가 $x=b$에서 최소일 때, $b$의 값을 구하는 과정을 서술하고, $b$의 값을 구하시오. (4.7점)