방정식 $\log_{\sqrt{3}} (x-6) = \log_3 (x^2-16) + \log_{\frac{1}{3}} (x+4)$를 만족시키는 실수 $x$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

자연수 $n$에 대하여 $x$에 대한 이차부등식
$x^2 - (n^2+12n+13)x + 12n^3 + 13n^2 \le 0$
을 만족시키는 모든 자연수 $x$의 개수를 $a_n$이라 할 때, $\sum_{k=1}^{15} a_k$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

다항함수 $f(x)$가 $$$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)+x^3}{x^2} = 5$, \quad \lim_{x \to 0} \left\{\left(x^2 - \frac{1}{x}\right) f(x)\right\} = 4$$ 를 만족시킬 때, $\lim_{x \to 1} \left\{\left(x^2 - \frac{1}{x}\right) \frac{1}{f(x)}\right\}$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

상수항이 $0$인 삼차함수 $f(x)$가 있다. 실수 $t$에 대하여 함수 $g(x) = |t - f(x)|$가 $x=p$에서 미분가능하지 않은 실수 $p$의 개수를 $h(t)$라 하자. 두 함수 $f(x)$, $h(t)$와 자연수 $k$가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(2)$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

(가) 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(0, f(0))$에서의 접선이 점 $\left(-\frac{1}{3}, -3\right)$을 지난다.
(나) 방정식 $f'(x) = 0$의 실근은 $-3k$와 $k$이다.
(다) $\lim_{t \to 5+} h(t) + \lim_{t \to 5-} h(t) + h(5) = 5$

삼각형 $ABC$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\overline{BC} \cos C - \overline{AB} \cos A - \overline{AC} = 0$
(나) $\frac{1}{2} \sin A = \sin \frac{A-B+C}{2} \sin C$

$\overline{BC} = 7$일 때, $\angle A$와 $\overline{AB}$를 각각 구하는 과정을 서술하시오.

다항함수 $f(x)$와 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $g(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $$f(x) + x \int_0^x f'(t) dt - \int_0^x t f'(t) dt = g(x)$$ 일 때, $f(1) + g(1)$의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $g(x)$는 원점 대칭이다.)

정의역이 $\{x \mid \log_5 \frac{1}{3} \le x \le 2\}$인 함수 $y = 25^x - 3 \times 5^{x+2} + 10$이 $x = \alpha$에서 최댓값 $M$을 갖고 $x = \beta$에서 최솟값 $m$을 가질 때, $\alpha, \beta, M, m$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x) = \sum_{k=1}^{45} \frac{\sqrt{x+k+45}-\sqrt{x+k}}{x\sqrt{x}}$ 에 대하여, $g(x)$는 $\lim_{x\to \infty} f(x)g(x) = 2025$를 만족시키는 이차함수이다. 방정식 $g(x) = 0$의 서로 다른 두 실근 $\alpha, \beta$가 $\alpha + \beta = 25, \alpha\beta = 5$를 만족시킬 때, $g(x)$의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오.

다음 조건을 만족시키는 모든 다항함수 $f(x)$에 대하여 모든 $f(1)$의 값의 합을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $a$는 상수이다.)

(가) 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) = 5x^4 + x^2 \int_{-1}^{1} f(t)dt - \left|\int_{0}^{1} f(t)dt\right|$ 이다.

첫째항이 $1$이고 공차가 자연수인 등차수열 $\{a_n\}$에 대하여 $\sum_{k=1}^{21} \frac{a_{k+1}-a_k}{\sqrt{a_{k+1}}+\sqrt{a_k}}$의 값이 $50$ 이하의 자연수가 되도록 하는 공차들의 집합을 $A$라 하자. 집합 $A$의 모든 원소의 개수를 $\alpha$, 모든 원소의 합을 $\beta$라 할 때, $\alpha$와 $\beta$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

사각형 $ABCD$가 한 원에 내접하고 $\overline{AD} = \overline{CD} = 3$, $\overline{BC} = 8$, $\angle BAD = \frac{2}{3}\pi$ 일 때, $\sin(\angle ADC)$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

함수 $f(x) = \begin{cases} ax + b & (x \le -1) \\ x^2 - 2x + 2 & (-1 < x < 3) \\ x^3 - 3x^2 + cx + d & (x \ge 3) \end{cases}$ 가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 함수 $g(x) = ax^3 + (b+t)x^2 + cx + d$가 극값을 가지도록 하는 실수 $t$의 범위를 구하는 과정을 서술하시오.

$x$에 대한 부등식 $$x^2 - x \log_3 \left( \sqrt[3]{9}n ight) + \log_3 \sqrt[3]{n^2} < 0$$ 을 만족시키는 정수 $x$의 개수가 $3$이 되도록 하는 모든 자연수 $n$의 값의 합을 구하는 과정을 서술하시오.

$\cos ( / 2 \pi+\theta)-\sin (\pi-\theta)=\frac{4}{5}$ 일 때, $\frac{\cos (-\theta)- / }{\sin \theta} 1+\cos \theta \sin (-\theta)$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

실수 $t$ 에 대하여 직선 $y=t$ 가 $0\le x<2\pi$ 에서 함수 $f(x)=|4\cos x-2|$ 의 그래프와 만나는 점의 개수를 $g(t)$ 라 하자. 함수 $g(t)$ 가 $t=a$ 에서 불연속인 실수 $a$ 의 값을 작은 것 부터 순서대로 나열한 것이 $a_1, a_2, a_3$ 이다. $a_1, a_2, a_3$ 의 값과 $f(x)=a_1$ 을 만족시키는 $x$ 의 값을 각각 구하는 과정을 서술하시오.

자연수 $a$에 대하여 함수 $$f(x) = rac{1}{3}\log_2(x-2)$$의 그래프의 점근선과 함수 $g(x) = an\left(rac{\pi x}{a} ight)$의 그래프는 만나지 않는다. 정의역이 $\left\{x \,\middle|\, rac{17}{8} \le x \le 6 ight\}$ 일 때, 모든 자연수 $a$의 값의 합을 구하는 과정을 서술하시오.

다음 조건을 만족시키는 최고차항의 계수가 $1$인 모든 삼차함수 $f(x)$에 대하여 $$\int_{-1}^{3} f(x)dx$$ 의 최댓값과 최솟값의 합을 구하는 과정을 서술하시오.
(가) $|f(1)| + |f(-1)| = 0$
(나) $-1 \le \int_{0}^{1} f(x)dx \le 1$

삼차함수 $f(x)=x^3+ax^2+bx$ 가 $\lim x \to 2\frac{1\int_{1}^{x} t f'(t) dt=20}{x-2}$ 을 만족시킬 때, f(4)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $a, b$ 는 상수이다.)

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곡선 y= $x^3$ 과 곡선 y=\sqrt $\frac{x}{2}$ 가 만나는 원점이 아닌 점을 A라 할 때, 점 A에서 x축에 내린
수선의 발을 H 라 하자. 삼각형 AOH의 넓이가 2
- $\frac{a}{b}$ 일 때, $a_{2}$ +b2의 값을 구하는 과정을 서술
하시오. (단, O는 원점, a와 b는 서로소인 자연수)

\frac{3 $\pi$ < $\theta$ <2 $\pi$ 인 $\theta$ 에 대하여 6cos $\theta$ - $\frac{1}{cos\theta}$ }{2}
=1일 때, sin $\theta$ cos $\theta$ 의 값을 구하는 과정을 서
술하시오.

모든 항이 자연수인 수열 { $a_{n}$ }이 모든 자연수 n에 대하여 $a_{n}$ +1=





3 $a_{n}$ +1( $a_{n}$ 이홀수인경우)
/
2 $a_{n}$ ( $a_{n}$ 이짝수인경우)
를 만족시킨다. $a_{7}$ =4일 때, $S_{20}$ 의 최솟값을 구하는 다음의 풀이 과정을 완성하시오. (단, 수열
{ $a_{n}$ }의 첫째항부터 제 n항까지의 합을 $S_{n}$ 이라 한다.) $a_{7}$ =4이므로 $a_{6}$ 이 홀수이면 $a_{6}$ =1이고, 짝수이면 $a_{6}$ =8이다. $a_{6}$ =1일 때, $S_{6}$ 의 최솟값은
[①]
이다. $a_{6}$ =8일 때, $a_{5}$ + $a_{6}$ =
[②]
>
[①]
이므로, $a_{6}$ =1일 때의 $S_{6}$ 이 최솟값을
갖는다. $S_{6}$ 이 최솟값을 갖는 수열 { $a_{n}$ }에서 반복되는 세 수는
[③]
이다. 따라서 $S_{20}$ 의 최솟값은
[④]
이다. $a_{6}$ =8일 때, $a_{5}$ + $a_{6}$ =
[②]24
>
[①]14
이므로 $a_{6}$ =1일 때의 $S_{6}$ 이 최솟값을 갖는다.
따라서 $S_{6}$ 이 최솟값을 갖는 수열 { $a_{n}$ }은 4,2,1,4,2,1... 이므로
[③] 4,2,1
이다. 따라서 $S_{20}$ 의 최솟값은 (4+2+1)×6+(4+2)=
[④]48
이다.

두 다항함수 $f(x)$ , $g(x)$ 에 대하여 $f(x)$ =3 $x^2$ +2x $\int$ 0
1
tg(t)dt, $g(x)$ =-6x+ \int$ 0
1
f(t)dt
일 때, 방정식 $f(x)$ + $g(x)$ =0의 모든 실근의 합을 구하는 과정을 서술하시오.

두 함수 $f(x)$ =




2x+1
(x $\ge$ 1)
, $g(x)$ = $x^2$ -ax $x^3$ + $a_{2} x^2$ -2x
(x<1)

에 대하여 함수 $f(x) g(x)$ 가 x=1에서 연속이 되도록 하는 상수 a의 값을 모두 구하는 과정을
서술하시오.

수직선 위를 움직이는 두 점 P , Q 의 시각 t(t $\ge$ 0)에서의 위치 $x^1$ , $x^2$ 가 $x^1$ =3 $t^4$ -24 $t^2$ +51t+d, $x^2$ =8 $t^3$ +6 $t^2$ -21t
이다. 실수 t에 대하여 닫힌구간 0,4에서 두 점 P , Q 사이 거리의 최솟값이 3일 때, 다음의
풀이 과정을 완성하시오. (단, d $\le$ 0)
두 점 P , Q 사이 거리가 최소가 되는 시각은 t=
[①]
이다. 한편, 두 점 P , Q 사이
거리는 t=
[②]
에서 최댓값
[③]
를 가지며, 이때 점 Q 의 속도는
[④]
이다.

정의역이 $\{x | x \ge 0\}$인 함수 $f(x) = ax^2$ $(0 < a < 1)$의 역함수를 $g(x)$라 하자. 두 곡선 $y=f(x)$, $y=g(x)$로 둘러싸인 부분의 넓이가 $S = \frac{3}{4}$일 때, 상수 $a$의 값을 구하는 다음의 풀이 과정을 완성하시오.

두 곡선 $y=f(x)$, $y=g(x)$의 교점의 $x$좌표는 $x=0$과 $x=$ [ ① ] 이다.

따라서 넓이를 정적분으로 나타내면 $S=$ [ ② ] 이고, 이 적분의 값을 $a$에 대한 식으로 쓰면 $S=$ [ ③ ] 이다. $S = \frac{3}{4}$이므로 상수 $a=$ [ ④ ] 이다.

1이 아닌 서로 다른 두 양수 $a, b$에 대하여 두 집합 $A, B$를 $$A = \{ 1, \log_a b \}, \quad B = \left\{ \frac{3}{2}, 2, 3\log_2 a - 2\log_2 b \right\}$$ 라 하자. $A \subset B$ 일 때, $ab^2$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

$x$에 대한 이차방정식 $kx^2 - (k+2)x + (k+1) = 0$의 두 근이 $\sin\theta$와 $\cos\theta$일 때, $\theta$의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $k$는 상수이고 $0 \le \theta \le \pi$)

수열 $\{a_n\}$은 $a_1 > 0$, $a_4 + a_5 = 0$이고, 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+2} = a_{n+1} - a_n$을 만족시킨다. 수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 $n$항까지의 합을 $S_n$이라 할 때, $S_n < 0$을 만족시키는 $300$ 이하의 자연수 $n$의 개수를 구하는 과정을 서술하시오.

함수 $$f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x+1}-a}{x-1} & (x > 1) \\ \frac{x+b}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}} & (x \le 1) \end{cases}$$ 가 $x=1$에서 연속일 때, 상수 $a$와 $b$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

수직선 위를 움직이는 두 점 $P, Q$의 시각 $t$ ($t \ge 0$)에서의 위치 $x_1, x_2$가 $$x_1 = 3t^3 - 3t^2 + 7t, \quad x_2 = 2t^3 + 3t^2 - 2t$$ 이다. 두 점 $P, Q$가 동시에 원점을 출발한 후 처음으로 속도가 같아지는 순간 $t_a$와 처음으로 만나는 순간 $t_b$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.