앞면에는 $1$부터 $10$까지의 자연수가 하나씩 적혀있고 뒷면에는 모두 $0$이 하나씩 적혀있는 $10$장의 카드가 있다. 처음에 이 $10$장의 카드는 모두 $0$이 보이도록 놓여있다. 이 $10$장의 카드 중 임의로서로 다른 $5$장의 카드를택하여, 택한 카드들을 각각 한번 뒤집은 후 $10$장의 카드에 보이는 모든 수의 집합을 $A$라 하고, 집합 $A$의 모든 원소의 합을 $S$라 하자. 이산확률변수 $X$를
\[ X = \begin{cases} 3S & (3 \in A \text{ 인 경우}) \\ S & (3 \notin A \text{ 인 경우}) \end{cases} \]
라 할 때, $E(X)$의 값을 구하시오. [16점]
앞면에 $1$부터 $n$까지의 숫자가 각각 하나씩 적힌 카드 $n$장이 있고, 이 카드들의 뒷면에는 $0$이 적혀있다. 모든 카드가 뒷면인 상태로 시작하고, 다음의 시행 (※)을 한다.
(※) $n$장의 카드 중 임의의 카드 한 장을 뒤집는다.
$n$번의 시행을 하였을 때, 보이는 숫자의 합의 기댓값을 $E_n$이라고 하자. 이때, 극한 \(\lim_{n \to \infty} \frac{E_n}{n^2}\)의 값을 구하시오. (단, 뒤집었던 카드를 다시 뒤집을 수 있고, \(\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^n k}{n^2} = \frac{1}{2}\)이다.) [20점]
[문제 3]
7개의 함수 $f(x)=ax^2+bx+c$, $g_1(x)=ax+b$, $g_2(x)=ax+c$, $g_3(x)=bx+a$, $g_4(x)=bx+c$, $g_5(x)=cx+a$, $g_6(x)=cx+b$ 가 다음 조건을 만족시키도록 하는 세 실수 $a, b, c$에 대하여 아래의 물음에 답하시오.
(Ⅰ) $f(x) > 0$인 실수 $x$가 존재한다.
(Ⅱ) $1 \le i \le 6$인 모든 자연수 $i$와 $s < t$인 모든 실수 $s, t$에 대하여 $\int_{s}^{t} g_i(x) dx \le \int_{s}^{t} f(x) dx$가 성립한다.
곡선 $C_1 : \frac{x^2}{4} - y^2 = 1$ ($x > 0$) 위를 움직이는 점 $P$ 에 대하여 점 $P$ 를 지나고 반지름의 길이가 $1$인 원을 $C_2$라 하자. 원 $C_2$의 중심이 $Q$ 이고 $C_2$ 위의 점 $P$에서의 접선이 곡선 $C_1$ 위의 점 $P$ 에서의 접선과 일치할 때, 아래의 물음에 답하시오. (단, 점 $Q$ 의 $x$좌표는 점 $P$ 의 $x$좌표보다 작다.)
[문제 4-1] 실수 전체의 집합에서 미분가능한 두 함수 $f(t), g(t)$에 대하여 점 $P$ 의 좌표가 $(f(t), g(t))$이고 $g(0) = 0, g'(0) = 2026$일 때, 점 $Q$ 의 좌표를 $(\alpha(t), \beta(t))$라 하자. $\beta'(0)$의 값을 구하시오. [10점]
아래 그림과 같은 바둑판 모양의 도로망과 하나의 주머니가 있다. 도로망의 $A$ 지점에 자동차가 있고, 주머니에는 숫자 $1, 3, 5$ 가 적힌 공이 각각 $1$개씩, 숫자 $2, 4, 6$ 이 적힌 공이 각각 $2$개씩 들어있다. 아래 도로망과 이 주머니를 사용하여 다음 시행을 한다.
주머니에서 공을 꺼내서 공에 적혀있는 수를 확인한 후 다시 넣는다.
이때, 확인한 수가 홀수이면 북쪽으로, 짝수이면 동쪽으로 자동차를 나온 수만큼 이동시킨다.
위의 시행을 반복하다가 자동차가 동쪽이나 북쪽 경계에 처음으로 도달할 경우, 그곳에서 자동차를 멈추고 시행을 종료한다. 예를 들어, 처음 시행에서 $3$ 이 적힌 공을 꺼낸 경우, 북쪽으로 $2$칸만 이동시킨 후 북쪽 경계에서 자동차를 멈추고 시행을 종료한다. 자동차가 북쪽 경계에 도달하여 시행을 종료하였을 때, 두 번째 시행에서 종료하였을 확률을 구하시오. [10점]
$x \ge 1$ 인 실수 $x$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 를
\[ f(x) = \int_{1}^{x} \frac{t^{2025} + t^{1885} + 1}{t^{2025} + t^{2024} + 1} dt \]
라 할 때, 다음 극한값을 구하시오. [10점]
\[ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=2}^{10} \frac{f(n+2k) - f(n)}{(k-1)k(k+1)} \]
(Ⅱ) 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $x_{n+1}$은 곡선 $y = x^2$ 위의 점 $(x_n, x_n^2)$에서의 접선의 $x$절편이다.
[문제 5-1] $a_k = \sum_{n=1}^{\infty} x_n$이라고 할 때 $a_{2025}$의 값을 구하시오. [5점]
[문제 5-2] [문제 5-1] 에서 주어진 $a_k$ 에 대하여 곡선 $y = x^2$ 위의 점 $(a_k, a_k^2)$ 에서의 접선을 $l$ 이라 하자. 점 $(a_k, a_k^2)$ 을 지나고 직선 $l$ 에 수직인 직선의 $x$절편을 $b_k$라고 할 때 다음 극한값을 구하시오. [15점]
\[ \lim_{m \to \infty} \prod_{i=1}^{m} \left( \frac{b_m - a_m}{a_i^3} + 1 \right)^{\frac{4i^2}{m^3 a_1^2}} \]
좌표평면 위의 점 $A(-2,0)$에 대해 두 점 $P, Q$가 다음 조건을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
(Ⅰ) $\vec{AP}$와 $\vec{AQ}$는 서로 평행하다.
(Ⅱ) $\vec{AP} \cdot \vec{AQ} = 9$
[문제 6-1] 점 $P$가 원 $C_1 : x^2 + y^2 = 1$ 위를 움직이는 점일 때, 점 $Q$가 나타내는 도형의 식을 구하시오. [15점]
[문제 6-2] 아래 그림과 같이 두 원 $C_1 : x^2 + y^2 = 1$, $C_2 : (x+1)^2 + y^2 = 1$의 서로 다른 두 교점을 $R_1, R_2$ 라 하자. 원 $C_1$ 에서 점 $O'(-1, 0)$을 포함하는 호 $R_1 O' R_2$와 원 $C_2$ 에서 점 $O(0, 0)$을 포함하는 호 $R_1 O R_2$로 이루어진 도형을 $R$이라 하자. 점 $P$ 가 도형 $R$ 위를 움직이는 점일 때, 점 $Q$ 가 나타내는 도형의 길이를 구하시오. [15점]
$1$ 부터 $30$ 까지의 자연수가 하나씩 적힌 $30$ 장의 카드가 들어 있는 주머니가 하나 있다. 이 주머니에서 임의로 $1$ 장의 카드를 꺼내어 카드에 적힌 수를 확인한 후, 꺼낸 카드를 넣지 않고 주머니에서 다시 임의로 $1$ 장의 카드를 꺼내어 카드에 적힌 수를 확인한다. 첫 번째로 꺼낸 카드에 적힌 수를 $m$, 두 번째로 꺼낸 카드에 적힌 수를 $n$ 이라 할 때, 다음 물음에 답하시오.
[문제 1-1] 확률변수 $X = \int_{1}^{e} \{m - n(\ln x)^2\} dx$ 에 대하여 $E(X)$ 의 값을 구하시오. [10점]
[문제 1-2] 다음 조건을 만족시키는 자연수 $x, y, z$ 의 모든 순서쌍 $(x, y, z)$ 의 개수를 확률변수 $Y$라 할 때, $E\left(\frac{3^7}{2} Y + 1\right)$의 값을 구하시오. [20점]
(Ⅰ) $xyz = \frac{mn}{30!}$
(Ⅱ) $x > y > z$
(Ⅲ) $x$와 $y$, $y$와 $z$, $z$와 $x$는 각각 서로소이다.
아래의 [문제 2-1], [문제 2-2]에서 주어진 함수 $f(x)$ 는 정의역에 속하는 모든 실수 $x$ 에 대하여 미분가능하고 $f'(x) \ne 0$ 이다. 이때 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $P$ 에서의 접선이 $x$ 축, $y$ 축과 만나는 점을 각각 $A, B$ 라 하자. $\vec{OA} + \vec{OB} = \vec{OP} + \vec{OQ}$ 를 만족시키는 점 $Q$ 의 $x$ 좌표, $y$ 좌표를 각각 $X, Y$ 라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, $O$ 는 원점이다.)
[문제 2-1] 두 양수 $a, b$ 에 대하여 $f(x) = \sqrt{b^2 \left(1 - \frac{x^2}{a^2}\right)}$ ($0 < x < a$) 일 때, $XY$ 의 최댓값을 구하시오. [15점]
[문제 2-2] 구간 $(0, \infty)$ 에서 정의된 함수 $f(x)$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (단, 구간 $(0, \infty)$ 에서 $f(x) > 0$ 이다.)
(Ⅰ) $f(1) = 3$
(Ⅱ) 곡선 $y = f(x)$ 위의 임의의 점 $P$ 에 대하여 $XY = c$ ($c$ 는 상수)이다.
함수 ${f(x)}^2 + \frac{1}{f(x)}$ 이 $x = k$ 에서 최솟값을 가질 때, 실수 $k$ 의 값을 구하시오. [15점]
아래의 [문제 3-1], [문제 3-2], [문제 3-3]에서 주어진 함수 $f(t), g(t)$ 는 각각 실수 전체의 집합에서 정의된 미분가능한 함수이다. 실수 $t$에 대하여 점 $P$ 를 $P(f(t), g(t))$, 점 $P'$ 을 $P'(f'(t), g'(t))$라 할 때, 세 점 $Q, R, S$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (단, $O$ 는 원점이다.)
[문제 3-1] $a = 2, b = 5$ 이고 $f(t) = t, g(t) = 4 - 2t$ 일 때, $\int_{0}^{2} (\vec{OP} \cdot \vec{PS})^2 dt$ 의 값을 구하시오. [10점]
[문제 3-2] $a = 5$ 이고 $f(t) = 2\cos t, g(t) = \sin t$ 일 때, 점 $T(0, 1)$ 에 대하여 $0 \le t \le \frac{\pi}{2}$ 에서 $(\vec{OT} \cdot \vec{PR})^2$ 의 최댓값을 구하시오. [15점]
[문제 3-3] $a > 2$ 이고 모든 실수 $t$ 에 대하여 $f(t)g(t) = 1$, $f(t) > a$, $f'(t) > 0$ 일 때, 모든 실수 $t$ 에 대하여 $\vec{OP} \cdot \vec{OR} > 0$ 임을 보이시오. [15점]
좌표평면 위의 점 $P$ 와 평면벡터 $\vec{v}$에 대하여, $\vec{OQ} = \vec{OP} + t\vec{v}$ ($t \ge 0$)을 만족하는 점 $Q$ 가 그리는 반직선을 생각하자. 네 점 $P_1(6, 4), P_2(1, 5), P_3(0, 3), P_4(0, -1)$과 네 벡터 $\vec{v}_1 = (-1, 0), \vec{v}_2 = (0, -1), \vec{v}_3 = (1, -1), \vec{v}_4 = (1, 1)$에 대하여 $\vec{OQ}_i = \vec{OP}_i + t\vec{v}_i$ ($i = 1, 2, 3, 4$)를 만족시키는 점 $Q_i$ 가 그리는 반직선 $l_i$ 가 주어져 있다. 다음 제시문을 참고하여 물음에 답하시오.
[제시문] 두 개의 반직선이 만났을 때, 양의 실수 $a$에 대하여 다음 규칙을 따라 새로운 반직선들이 생성된다고 하자.
(가) 서로 다른 두 반직선 $l_i, l_j$ ($1 \le i, j \le 4$)가 시작점 $P_i$ 또는 $P_j$ 가 아닌 점 $P$ 에서 만날 때, $\vec{OR} = \vec{OP} + t(a\vec{v}_i + \vec{v}_j)$ ($t \ge 0$)을 만족시키는 점 $R$ 이 그리는 반직선과 $\vec{OS} = \vec{OP} + t(\vec{v}_i + a\vec{v}_j)$ ($t \ge 0$)을 만족시키는 점 $S$ 가 그리는 반직선이 각각 생성된다.
(나) 새로 생성된 반직선들을 포함하여 임의의 서로 다른 두 반직선이 시작점이 아닌 점에서 만날 때에도 (가)의 규칙이 계속 적용된다.
[문제 4-1] 두 반직선 $l_1, l_2$ 에 대하여 [제시문]의 (가)에 따라 새로운 반직선들이 생성될 때, 점 $A(2, 2)$ 를 지나는 반직선이 생성될 수 있는 양의 실수 $a$ 가 존재하면 그 값을 찾으시오. 만약 존재하지 않으면 그 이유를 설명하시오. [5점]
[문제 4-2] 네 반직선 $l_1, l_2, l_3, l_4$ 에 대하여 [제시문]의 (가), (나)에 따라 새로운 반직선들이 생성될 때, 점 $A(2, 2)$ 를 지나는 반직선이 생성될 수 있는 양의 실수 $a$ 가 존재하면 그 값을 찾으시오. 만약 존재하지 않으면 그 이유를 설명하시오. [10점]
[제시문 1] 연세로에 $2023$개의 전등이 1번부터 $2023$번까지 순서대로 놓여 있다. 모든 전등에는 버튼이 달려 있으며, 전등이 꺼져있을 때 버튼을 누르면 전등이 켜지고, 전등이 켜져있을 때 누르면 꺼진다. 수험번호가 $k$인 학생은 연세로를 지나가며 전등 번호가 $k$의 배수인 모든 전등의 버튼을 한 번씩 누른다고 하자. 다음 물음에 답하시오.
[문제 1-1] 수험번호가 1부터 $2023$까지의 총 $2023$명의 학생이 연세로를 지나갔다. 이때 $2023$번째 전등의 버튼은 모두 몇 번 눌러졌을까? [3점]
[문제 1-2] 모든 전등이 처음에 꺼져있는 상태에서 수험번호가 1부터 $2023$까지의 학생이 연세로를 지나갔다. $2023$명의 학생이 모두 지나간 후 켜져있는 전등 중에서 임의의 전등을 하나를 골랐을 때, 그 전등의 버튼이 총 세 번 눌러졌을 확률을 구하시오. [5점]
[문제 1-3] 모든 전등이 처음에 꺼져있는 상태에서 수험번호가 4부터 $2021$까지의 학생이 연세로를 지나갔다. $2018$명의 학생이 모두 지나간 후 $2023$개의 전등 중에서 임의로 하나를 골랐을 때, 그 전등이 켜져있을 확률을 구하시오. [9점]
[제시문 2] 구간 $[a, b]$, $(a, b)$, $[a, b)$, $(a, b]$ 의 길이를 모두 $b - a$ 로 정의한다. 집합 $S$ 가 구간 $[0, 1]$ 의 부분집합이고 서로 겹치지 않는 구간들의 합집합으로 나타날 때, 집합 $S$ 의 길이는 각 구간의 길이의 합으로 정의한다. 공집합의 길이는 0이라 한다.
예를 들어 $S = (\frac{1}{9}, \frac{2}{9}) \cup (\frac{1}{2}, 1]$일 때, 집합 $S$의 길이는 $(\frac{2}{9} - \frac{1}{9}) + (1 - \frac{1}{2}) = \frac{1}{9} + \frac{1}{2} = \frac{11}{18}$이다. 아래의 문제에서 주어진 함수 $f(x)$ 와 실수 $t$ 에 대하여 집합 $S = \{ x \mid f(x) > t, 0 \le x \le 1 \}$의 길이를 $g(t)$ 라고 하자. 두 실수 $a, b$ 에 대하여 $\min(a, b) = \begin{cases} a & (a < b) \\ b & (a \ge b) \end{cases}$ 으로 정의한다.
[문제 2-1] $f(x) = 36x^3 - 27x^2 - 4x + 9$ 일 때, $g(6)$ 을 구하시오. [3점]
[문제 2-2] $f(x) = 8x^3 - 11x^2 + 3x + 5$ 일 때, $g(t) = 1$ 을 만족하는 $t$ 의 값의 범위를 구하시오. [3점]
[문제 2-3] $f(x) = \min(ax, bx+c)$ ($a, b, c$ 는 상수이고 $a > 0, b < 0$) 일 때, $g(t)$ 를 구하고 그래프를 그리시오. [9점]
[문제 2-4] $f(x) = |a(x-b)(x-c)|$ ($-10 < a < 0, -10 < b < 0, 0 < c < 1$인 상수) 일 때, $\int_{0}^{2023} g(t) dt$ 의 값을 구하시오. [9점]
[제시문 3] 좌표평면의 원점 $O$ 를 지나고 기울기가 $m$ 과 $-m$ 인 (단, $m \ge 1$) 직선을 각각 $l_1$ 과 $l_2$ 라 하자. 직선 $l_1$ 위의 점 $P(x_1, y_1)$과 직선 $l_2$ 위의 점 $Q(x_2, y_2)$가 조건 $x_1 \ge 0, x_2 \ge 0, \overline{PQ}=1$ 을 모두 만족하며 움직인다. 다음 물음에 답하시오.
[문제 3-1] 선분 $PQ$ 의 중점 $M(x, y)$ 가 나타내는 도형의 방정식을 구하시오. [4점]
[문제 3-2] 점 $Q$가 원점 $O$ 에서 출발하여 일정한 속도 $(1, -m)$으로 직선 $l_2$ 위를 움직일 때, $\overline{OQ}=\frac{1}{2}$ 이 되는 순간에 점 $P$의 속도를 구하시오. [6점]
[문제 3-3] $m = \frac{\sqrt{15}}{3}$ 이고 $\overline{OQ}=\frac{1}{2}$ 일 때, 삼각형 $POQ$에 내접하는 원을 $C_1$이라 하자. 이때, 원 $C_1$과 $x$ 축이 만나는 두 점 중 원점에 더 가까운 점을 지나고 $y$ 축과 평행한 직선을 $l_3$이라 하자. 이때, 직선 $l_1, l_2, l_3$이 만드는 삼각형에 내접하는 원을 $C_2$라고 하자. 원 $C_1$의 중심과 원 $C_2$의 중심 사이의 거리를 구하시오. [9점]
모든 항이 양수인 수열 $\{a_n\}$에 대하여 쌍곡선 $\frac{x^2}{a_{n+1}^2} - y^2 = 1$ ($x \ge a_{n+1}$)과 함수 $y = \ln(1+x)$의 그래프는 한 점에서 만난다. 이 점의 $x$좌표를 $b_n$ 이라 할 때, 아래 제시문을 참고하여 다음 물음에 답하시오.
제시문 1. $x > 0$인 실수 $x$에 대하여 $\ln(1+x) < x$가 성립한다. 제시문 2. 자연수 $n$에 대하여 $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \le \left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^{n+1}$이 성립한다.
자연수 $N$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 홀수 $m$ 의 값의 합을 $f(N)$ 이라 하자. 예를 들어, $N=21$ 인 경우에 $21 = \sum_{k=1}^1 (20+k)$ (홀수 21개 항 없음), $21 = 6 + 7 + 8 = \sum_{k=1}^3 (5+k)$ 와 같이 2개 방법이 가능하므로 $f(21) = 1 + 3 = 4$ 이다. 자연수 $N$ 과 홀수 $m$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 수열 $\{a_n\}$의 첫째항이 될 수 있는 자연수의 개수를 $g_N(m)$이라 할 때, 다음 물음에 답하시오.
조건 (가) 등차수열 $\{a_n\}$은 첫째항이 자연수이고 공차가 1 이다. 조건 (나1) $\sum_{k=1}^m a_k = N$ 이다. (이 조건은 $f(N)$의 정의에 적용됨) 조건 (나2) $\sum_{k=1}^m a_k \le N$ 이다. (이 조건은 $g_N(m)$의 정의에 적용됨)
[문제 3-1] $N$을 $m$으로 나눈 나머지가 $r$일 때, $g_N(m)$을 $N, m, r$을 이용하여 나타내시오. [7점]
세 점 $O(0, 0)$, $A(2022, 0)$, $B(0, 2022)$를 꼭짓점으로 하는 직각이등변삼각형 $OAB$의 내부 및 둘레에 다음 조건을 만족하도록 여러 개의 선분을 그어 그 선분을 변으로 하는 유한 개의 다각형을 만든다고 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, 양 끝점 중 적어도 한 개의 점이 삼각형 $OAB$의 내부에 있는 선분은 두 다각형의 변이 되고, 두 끝점이 모두 삼각형 $OAB$의 둘레에 있는 선분은 오직 한 다각형의 변이 된다.)
(가) 다각형의 모든 변은 $x$축, $y$축, 직선 $y = x$, 직선 $y = -x$ 중 하나와 평행하다.
(나) 다각형의 모든 내각의 크기는 $180^\circ$보다 작다.
(다) 다각형의 변과 삼각형 $OAB$의 변이 한 점에서 만날 때, 두 선분은 서로 수직이다.
(라) 다각형의 꼭짓점이 삼각형 $OAB$의 내부에 있을 때, 이 꼭짓점은 서로 다른 세 선분의 끝점이고 세 선분 중 두 개는 좌표축과 평행하다.
[문제 4-1] 다각형의 꼭짓점 $V$가 삼각형 $OAB$의 내부에 있을 때, 점 $V$에서 점 $V$와 선분으로 연결된 세 점으로 향하는 벡터와 방향이 같은 세 개의 벡터 $\vec{u}_1, \vec{u}_2, \vec{u}_3$가 있다. 가능한 모든 세 개의 벡터에 대하여 $\vec{u}_1 + \vec{u}_2 + \vec{u}_3 = \vec{0}$ 임을 보이시오. (단, 세 벡터의 성분은 $-1$ 또는 0 또는 1이다.) [5점]
[문제 4-2] 다각형의 꼭짓점 $P$가 삼각형 $OAB$의 둘레에 있고 점 $P$와 선분으로 연결된 점 $Q$가 삼각형 $OAB$의 내부에 있을 때, 벡터 $\vec{QP}$와 방향이 같은 벡터 $\vec{u}$를 점 $P$에 대한 경계벡터라 하자. 모든 경계벡터의 합이 $\vec{0}$임을 보이시오. (단, 경계벡터의 성분은 $-1$ 또는 0 또는 1이다.) [7점]
[문제 4-3] 선분 $OA, OB, AB$와 각각 만나는 다각형의 개수가 모두 같음을 보이시오. [6점]
