[제시문]

<제시문>
(가) 두 집합 $X$, $Y$에서 함수 $f: X \to Y$가 일대일대응이면, $Y$의 각 원소 $y$에 대응하는 $X$의 원소 $x$는 오직 하나 존재한다. 이때 $Y$의 각 원소 $y$에 $y = f(x)$인 $X$의 원소 $x$를 대응시키면 $Y$를 정의역, $X$를 공역으로 하는 새로운 함수를 정의할 수 있다. 이 함수를 $f$의 역함수라고 한다.
(나) 미분가능한 함수 $g(t)$에 대하여 $x = g(t)$로 놓으면
$$\int f(x) dx = \int f(g(t)) g'(t) dt$$
(다) 두 함수 $f(x)$, $g(x)$가 미분가능하고, $f'(x)$, $g'(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속일 때,
$$\int_{a}^{b} f(x) g'(x) dx = [f(x)g(x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f'(x)g(x) dx$$
(라) 삼각형의 한 꼭짓점과 그 대변의 중점을 이은 선분을 중선이라 하고, 세 중선의 교점을 삼각형의 무게중심이라고 한다. 삼각형의 무게중심은 세 중선을 꼭짓점으로부터 각각 $2:1$로 내분한다.
실수 $a$에 대하여 함수
$$f(x) = \int_{0}^{x} (t-a)e^t dt$$
의 극솟값을 $g(a)$라 하자. 구간 $x \ge 0$에서 함수 $g(x)$의 역함수를 $h(x)$라 하자.

[제시문]

<제시문>
(가) 함수 $f(x)$가 어떤 열린구간에서 미분가능하고, 이 구간의 모든 $x$에 대하여
∙ $f'(x) > 0$이면 $f(x)$는 이 구간에서 증가한다.
∙ $f'(x) < 0$이면 $f(x)$는 이 구간에서 감소한다.
(나) 함수 $f: X \to Y$에서 정의역 $X$의 임의의 두 원소 $x_1$, $x_2$에 대하여 $x_1 \ne x_2$이면 $f(x_1) \ne f(x_2)$가 성립할 때, 이 함수 $f$를 일대일함수라고 한다.
(다) 함수 $f(x)$에서 $x=a$를 포함하는 어떤 열린구간에 속하는 모든 $x$에 대하여
∙ $f(x) \le f(a)$이면 함수 $f(x)$는 $x=a$에서 극대, 그때의 함숫값 $f(a)$를 극댓값이라고 하고,
∙ $f(x) \ge f(a)$이면 함수 $f(x)$는 $x=a$에서 극소, 그때의 함숫값 $f(a)$를 극솟값이라고 하며, 극댓값과 극솟값을 통틀어 극값이라고 한다.

함수 $f(x) = \frac{2x}{1+x^2}$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[제시문]

<제시문>
(가) 임의의 세 실수 $a, b, c$를 포함하는 구간에서 함수 $f(x)$가 연속일 때,
$$\int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx$$
(나) 두 직선 $y = mx+n$, $y = m'x+n'$에 대하여 두 직선이 서로 수직이면 $mm' = -1$이다.
(다) 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 미분가능할 때, 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $P(a, f(a))$에서의 접선의 방정식은
$$y - f(a) = f'(a)(x-a)$$

최고차항의 계수가 양수 $a$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 $g(x) = \int_{1}^{x} f(t) dt$는 $x = -2, 0, 2$에서 극값을 갖는다.

[제시문]

<제시문>
(가) $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$ (단, $C$는 적분상수)
(나) 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 미분가능한 함수 $x = g(t)$에 대하여 $a = g(\alpha)$, $b = g(\beta)$일 때 도함수 $g'(t)$가 $\alpha$, $\beta$를 포함하는 구간에서 연속이면
$$\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(g(t)) g'(t) dt$$
(다) 미분가능한 함수 $f(x)$가 $f'(a) = 0$이고 $x = a$의 좌우에서
∙ $f'(x)$의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 $f(x)$는 $x=a$에서 극대이고, 극댓값은 $f(a)$
∙ $f'(x)$의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 $f(x)$는 $x=a$에서 극소이고, 극솟값은 $f(a)$

함수 $f(x) = \frac{\cos x}{2 + \sin x}$라 하자.

[제시문]

<제시문>
(가) 함수 $y=f(x)$에서 평균변화율의 극한값
$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x) - f(a)}{\Delta x}$$
가 존재하면 $y=f(x)$는 $x=a$에서 미분가능하다고 한다.
(나) 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속, $f(x) \ge 0$이고, $f(a) = f(b) = 0$일 때, 곡선 $y=f(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$는
$$S = \int_{a}^{b} f(x) dx$$
(다) 함수 $f(x)$에서 $x=a$를 포함하는 어떤 열린구간에 속하는 모든 $x$에 대하여
∙ $f(x) \le f(a)$이면 함수 $f(x)$는 $x=a$에서 극대, 그때의 함숫값 $f(a)$를 극댓값이라고 하고,
∙ $f(x) \ge f(a)$이면 함수 $f(x)$는 $x=a$에서 극소, 그때의 함숫값 $f(a)$를 극솟값이라고 하며, 극댓값과 극솟값을 통틀어 극값이라고 한다.

$-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$일 때 함수 $f(x)$를 $f(x) = \left| |\tan x| - 1 \right|$ 이라 하고, 삼차함수 $p(x)$는 다음 조건을 만족시킨다.
(1) 함수 $g(x) = f(x)p(x)$는 구간 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$에서 미분가능하다.
(2) 함수 $h(x) = |\tan x + p(x)|$는 $x=0$에서 미분가능하다.

[제시문]

<제시문>
(가) 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 열린구간 $(a, b)$에서 미분가능할 때,
∙ $(a, b)$에서 $f'(x) > 0$이면 함수 $f(x)$는 $[a, b]$에서 증가,
∙ $(a, b)$에서 $f'(x) < 0$이면 함수 $f(x)$는 $[a, b]$에서 감소한다.
(나) 함수 $f(x)$가 어떤 구간에서
∙ $f''(x) > 0$이면 곡선 $y=f(x)$는 그 구간에서 아래로 볼록
∙ $f''(x) < 0$이면 곡선 $y=f(x)$는 그 구간에서 위로 볼록하다.
(다) 두 함수 $f(x), g(x)$의 합성함수 $h(x) = (f \circ g)(x) = f(g(x))$에 대해서 함수 $f(x)$의 역함수 $f^{-1}(x)$가 존재할 때 $g(x) = (f^{-1} \circ h)(x)$이다.
(라) 미분가능한 함수 $g(x)$의 도함수 $g'(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$를 포함하는 열린구간에서 연속이고, 함수 $f(x)$가 $g(a)$와 $g(b)$를 양 끝으로 하는 열린구간에서 연속일 때
$$\int_{a}^{b} (f \circ g)(x) g'(x) dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(t) dt \quad \cdots\cdots (*)$$
$\alpha(x) = \int_{a}^{x} (f \circ g)(t) g'(t) dt$, $\beta(x) = \int_{g(a)}^{x} f(t) dt$ 라 할 때, 식 $(*)$은 $\alpha(b) = (\beta \circ g)(b)$ 와 같다.

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x) = \frac{e^x}{e^x + 1}$ 에 대하여
$$\alpha(x) = \int_{0}^{x} \sqrt{f(t)} dt, \quad \beta(x) = \int_{c}^{x} \frac{2}{1-t^2} dt \quad (-1 < x < 1), \quad c = \sqrt{f(0)} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ 라 하자.

[제시문]

<제시문>
(가) 미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $f'(a) = 0$이고, $x = a$의 좌우에서
∙ $f'(x)$의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 $f(x)$는 $x=a$에서 극대
∙ $f'(x)$의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 $f(x)$는 $x=a$에서 극소
(나) 등비급수 $\sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} + \cdots$ (단, $a \ne 0$)은 $|r| < 1$ 일 때 수렴하고, 그 합은 $\frac{a}{1-r}$ 이다.
(다) 미분가능한 함수 $t = g(x)$의 도함수 $g'(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고, $g(a) = \alpha, g(b) = \beta$에 대하여 함수 $f(t)$가 $\alpha$와 $\beta$를 양 끝으로 하는 닫힌구간에서 연속일 때
$$\int_{a}^{b} f(g(x))g'(x)dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(t)dt$$
(라) 미분가능한 두 함수 $f(x), g(x)$에 대하여
$$\int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)dx$$

모든 실수 $x$에 대하여 $(f(x)-3)(f(x)+3)(2f(x)-x^3+a^2 x) = 0$ (단, $a > 0$은 상수)

[제시문]

<제시문>
(가) 함수 $f(x)$가 어떤 구간에서 미분가능하고, 이 구간의 모든 $x$에 대하여
∙ $f'(x) > 0$ 이면 $f(x)$는 증가
∙ $f'(x) < 0$ 이면 $f(x)$는 감소
(나) 미분가능한 두 함수 $y=f(u)$, $u=g(x)$에 대하여 합성함수 $y=f(g(x))$의 도함수는
$$y' = f'(g(x))g'(x)$$
(다) 미분가능한 두 함수 $f(x), g(x)$에 대하여 $f'(x), g'(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속일 때,
$$\int_{a}^{b} f(x)g'(x)dx = [f(x)g(x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f'(x)g(x)dx$$

실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 $f(x)$는 다음 조건을 만족시킨다.
(1) $f(x)$는 열린구간 $(-1, 0)$에서 증가하고 열린구간 $(0, 1)$에서 감소한다.
(2) $f(-1) + f(1) = 0$
(3) $-1 < x < 1$인 모든 $x$에 대하여 $f''(x) < 0$
(4) 닫힌구간 $[-1, 1]$에서 곡선 $y=f(x)$와 두 점 $(-1, f(-1))$, $(1, f(1))$을 지나는 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 $3$이다.

[제시문]

<제시문>
(가) 미분가능한 두 함수 $y=f(u)$와 $u=g(x)$에 대하여 합성함수 $y=f(g(x))$의 도함수는
$$\{f(g(x))\}' = f'(g(x))g'(x)$$
(나) 미분가능한 함수 $f(x)$가 $f'(a) = 0$ 이고 $x=a$의 좌우에서
∙ $f'(x)$의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 $f(x)$는 $x=a$에서 극대이고, 극댓값은 $f(a)$
∙ $f'(x)$의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 $f(x)$는 $x=a$에서 극소이고, 극솟값은 $f(a)$
(다) 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 미분가능한 함수 $x=g(t)$에 대하여 $a = g(\alpha), b = g(\beta)$일 때 도함수 $g'(t)$가 $\alpha, \beta$를 포함하는 구간에서 연속이면
$$\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(g(t))g'(t)dt$$

[제시문]

<제시문>
(가) 함수의 최솟값 구하기 (도함수 활용)
(나) 미분계수의 정의 및 미분가능성
(다) 접선의 방정식

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$는 다음 조건을 만족시킨다.
(1) 점 $(t,0)$을 지나는 직선 $l$이 곡선 $y=e^x$에 접할 때 접점의 $x$좌표를 $u(t)$라 하자. $\int_{t}^{u(t)} e^x dx = 1 - \frac{1}{e}$ 일 때 직선 $l$은 점 $(0, f(0))$에서 곡선 $y=f(x)$와 접한다.
(2) $f(\frac{3}{2}) = \frac{5}{2}$
(3) 곡선 $y=f(e^x)$는 곡선 $y=e^x$와 한 점에서만 만난다.