[제시문]

(ㄱ) 정수의 값을 갖는 등차수열 $\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}$과 수열 $\{x_n\}$은 자연수 $K$에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 등차수열 $\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}$의 공차는 각각 $0$이 아닌 정수 $d_1, d_2, d_3$이고 $a_K = b_K$, $b_{K+15} = c_{K+15}$이다.

(나) $n \le K$인 자연수 $n$에 대하여 $x_n = a_n$이다.

(다) $K \le n \le K+15$인 자연수 $n$에 대하여 $x_n = b_n$이다.

(라) $n \ge K+15$인 자연수 $n$에 대하여 $x_n = c_n$이다.

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 수열 $\{x_n\}$에 대하여 $\{x_n\}$의 첫째항부터 제 $n$항까지의 합을 $S_n$이라고 할 때, $\{x_n\}$과 $S_n$은 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $x_1 = 35$

(나) $x_{46}x_{47} < 0$

(다) $S_7 = S_8$

(라) $S_{19}S_{17} - S_{19}S_{18} + S_{18}^2 - S_{18}S_{17} - 25 = 0$

[제시문]

(ㄱ) 양수 $a$와 상수 $b$에 대하여 함수 $f(x)$는 다음과 같다.

$f(x) = \begin{cases} \frac{2x}{x^2 + a} & (x \ge 0) \\ bx & (x < 0) \end{cases}$

(ㄴ) 실수 $t$와 제시문 (ㄱ)의 함수 $f(x)$에 대하여 닫힌구간 $[t, t+c]$에서의 $f(x)$의 최댓값을 $g(t)$라고 할 때, 함수 $f(x)$와 $g(t)$는 다음 조건을 만족시킨다. (단, $c$는 양수이다.)

(가) $x \ge 0$인 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) \le f(c)$이다.

(나) 함수 $g(t)$는 $t = -\frac{1}{2}$에서 미분가능하지 않다.

(ㄷ) 제시문 (ㄴ)의 $c$와 함수 $g(t)$에 대하여 기울기가 $m$인 직선 $l$은 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 직선 $l$의 방정식은 $y = mt + \frac{1}{c}$이다.

(나) $m = \frac{1}{25}$일 때, 직선 $l$은 곡선 $y = g(t)$와 서로 다른 두 점에서 만난다.

(다) $0 < m < \frac{1}{25}$일 때, 직선 $l$은 곡선 $y = g(t)$와 서로 다른 세 점에서 만난다.

[제시문]

(ㄱ) 자연수 $k$에 대하여 함수 $f(x)$는 다음과 같다.

$f(x) = \sin kx$

(ㄴ) 실수 $t$와 제시문 (ㄱ)의 함수 $f(x)$에 대하여 직선 $x = 4\pi$와 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(t, f(t))$에서의 접선이 만나는 점의 $y$좌표를 $g(t)$라고 하자.

(ㄷ) $x < 4\pi$인 실수 $x$와 제시문 (ㄴ)의 함수 $g(t)$에 대하여 닫힌구간 $[x, 4\pi]$에서의 함수 $g(t)$의 최댓값과 최솟값의 차를 $h(x)$라고 하자.

(ㄹ) 제시문 (ㄱ)의 자연수 $k$와 제시문 (ㄷ)의 함수 $h(x)$에 대하여 $a = 4\pi - \frac{5\pi}{2k}, b = 4\pi - \frac{3\pi}{2k}, C = \int_{a}^{b} h(x) dx$라고 하자.

[제시문]

(ㄱ) 주머니에 $1$부터 $n$까지의 자연수가 각각 적혀있는 공 $n$개가 들어있다. 이 주머니에서 임의로 $2$개의 공을 꺼낼 때, 꺼낸 공에 적힌 자연수 중 작은 수를 $i$, 큰 수를 $j$라고 하자. (단, $n \ge 3$)

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 자연수 $i, j$에 대하여 $i, j-i, n-j+1$ 중 가장 작은 수를 확률변수 $X$라고 하자.

[제시문]

(ㄱ) 하나의 상자에 다음 시행을 반복하여 공을 넣거나 꺼내려고 한다.

한 개의 주사위를 던져서 나온 눈의 수가 $1$이면 흰 공 $3$개를, $2$ 이상 $4$ 이하이면 검은 공 $2$개를 상자에 넣고, $5$ 이상이면 상자에서 임의로 공 $1$개를 꺼낸다. (단, 상자가 비어있을 때 나온 눈의 수가 $5$ 이상이면 공을 넣지도 않고 꺼내지도 않는다.)

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 상자가 비어있는 상태에서 시작하여 제시문 (ㄱ)의 시행을 $k$번 반복한 후 상자에 들어 있는 흰 공의 개수를 $a_k$, 검은 공의 개수를 $b_k$라고 하자. 이때 $a_k$와 $b_k$가 다음 조건을 모두 만족시키거나 $k = 10$이면 더 이상 시행을 반복하지 않고 멈추기로 한다.

(가) $a_k = 3$

(나) $b_k > 0$

(다) $b_k$는 $3$의 배수 또는 $3$의 약수이다.

(ㄷ) 제시문 (ㄴ)의 방법으로 시행을 반복할 때, 시작 후 멈출 때까지의 총 시행 횟수를 확률변수 $X$라고 하자.

(ㄹ) 제시문 (ㄷ)의 확률변수 $X$에 대하여 $X = 4$일 확률을 $p$, $X \le 5$일 때 $X = 3$일 확률을 $q$라고 하자.

[제시문]

(ㄱ) 최고차항의 계수가 $3$인 삼차함수 $f(x)$는 어떤 실수 $\alpha$에 대하여 $f(f(\alpha)) = \alpha$ 이고 다음 조건을 만족시킨다. (단, $p = \frac{\alpha + f(\alpha)}{2}$)

(가) $|\alpha - f(\alpha)| = 4$

(나) $f(p) - p = 4$

(다) $\int_{f(\alpha)}^{p} f(x) dx = 12$

[제시문]

(ㄱ) 실수 $a, b, c$에 대하여 함수 $f(x)$는 다음과 같다. (단, $n$은 자연수이고 $e$는 자연로그의 밑이다.)

$$ f(x) = \begin{cases} ax^2 + b & (x < -1) \\ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{3ax^{2n} + 3ae^x}{3x^{2n}+1} + \frac{2(x^{2n-1} + x^{2n-2} + \dots + x + 1)}{2x^{2n}+1} \right) & (-1 \le x < 1 \text{ 또는 } x > 1) \\ c & (x = 1) \end{cases} $$

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 함수 $f(x)$는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $f(x)$는 $x = -1$에서 연속이다.

(나) 함수 $f(x)$에서 $x$의 값이 $-1$에서 $1$까지 변할 때의 평균변화율은 $\frac{1}{2}$이다.

(ㄷ) 제시문 (ㄴ)의 함수 $f(x)$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 실수 $p$의 집합을 $A$라고 하자. (단, $p \ne 1$)

$1$과 $p$ 사이에 있는 임의의 실수 $r$에 대하여 $\lim_{x \to r} \frac{f(x) - f(r)}{x-r} \ne \frac{f(p) - f(1)}{p-1}$ 이다.

[제시문]

(ㄱ) 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$와 정의역과 공역이 모두 실수 전체의 집합이고 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $g(x)$는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $10 \le |f(2) - f(1)| \le 20$

(나) 실수 $t$가 $0 \le t \le 4$ 일 때 $f(g(t)) = f(t)$, $t < 0$ 일 때 $g(t) = g(0)$, $t > 4$ 일 때 $g(t) = g(4)$ 이다.

(다) $\lim_{x \to 0^+} \frac{g(x) - g(0)}{\sqrt{x}} = \sqrt{3}$

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 함수 $g(x)$로 가능한 모든 함수의 개수를 $n$이라고 하자.

(ㄷ) 제시문 (ㄱ)의 함수 $f(x)$와 $g(x)$로 가능한 모든 함수에 대하여 다음 $S$의 값 중 가장 큰 값을 $M$, 가장 작은 값을 $m$이라고 하자.

$S$는 곡선 $y = f'(x)g(x)$와 $x$축 및 두 직선 $x = 1, x = 4$로 둘러싸인 도형의 넓이이다.

[제시문]

(ㄱ) 좌표평면 위를 움직이는 점 $P(x,y)$의 시각 $t$ ($t \ge 0$)에서의 위치는 다음과 같다.

$x = 2 \sin t - (2t - \pi)\cos t, \quad y = 2\cos t + (2t - \pi)\sin t$

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 점 $P$에서 $x$축과 $y$축에 내린 수선의 발을 각각 $Q$와 $R$이라고 하면, 점 $P$가 움직일 때 점 $Q$는 $x$축 위에서 직선 운동을 하고 점 $R$은 $y$축 위에서 직선 운동을 한다.

(ㄷ) 양수 $a$에 대하여 제시문 (ㄱ)의 점 $P$의 시각 $t = a$에서의 속력은 시각 $t = 0$에서의 속력의 $3$배이다. 이때 실수 $s$는 $t=0$에서 $t=a$까지 점 $P$가 움직인 거리이다.

(ㄹ) 양수 $b$에 대하여 제시문 (ㄴ)의 점 $Q$는 시각 $t = 0$일 때 출발하여 시각 $t = b$에서 $Q$의 운동 방향을 두 번째로 바꾼다. 이때 실수 $d$는 $t=0$에서 $t=b$까지 점 $Q$가 움직인 거리이다.

(ㅁ) 양수 $c$에 대하여 제시문 (ㄴ)의 점 $R$은 시각 $t = 0$일 때 출발하여 시각 $t = c$에서 $R$의 운동 방향을 두 번째로 바꾼다. 이때 실수 $l$은 $t=0$에서 $t=c$까지 점 $R$이 움직인 거리이다.

[제시문]

(ㄱ) 실수 $t$에 대하여 곡선 $y = e^{2x}$ 위의 점 $(t, e^{2t})$에서의 접선의 방정식을 $y = f(x)$라고 하자.

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 실수 $t$와 함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x) = |f(x) + k - 2\ln x|$가 구간 $(0, \infty)$에서 미분가능하도록 하는 실수 $k$의 최솟값을 $m(t)$라 하자. 이때 함수 $h(t)$는 다음과 같다.

$h(t) = e^{-t}(m(t) + 2t + 1)$

(ㄷ) 두 실수 $a, b$ ($a < b$)와 제시문 (ㄴ)의 함수 $h(t)$에 대하여 실수 $s$는 다음과 같다.

$s = \int_{a}^{b} (t-1)^2 h(t) dt$

(ㄹ) 두 실수 $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$)와 제시문 (ㄷ)의 실수 $a, b, s$에 대하여 $a = \alpha, b = \beta$일 때, $s$의 값이 최소가 된다.

[제시문]

(ㄱ) 자연수 $n$ ($1 \le n \le 500$)에 대하여 실수 $a$는 다음과 같다.

$a = \sin\left(\frac{n+1}{100}\right) + \sin\left(\frac{n+2}{100}\right) + \dots + \sin\left(\frac{n+100}{100}\right)$

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 $n$과 $a$에 대하여 $a$의 값이 최대가 되도록 하는 $n$의 값을 $m$이라고 하자.

(ㄷ) 제시문 (ㄴ)의 자연수 $m$에 대하여 실수 $b$는 다음과 같다.

$b = \cos\left(\frac{m+1}{100}\right) + \cos\left(\frac{m+2}{100}\right) + \dots + \cos\left(\frac{m+100}{100}\right)$

(ㄹ) 제시문 (ㄷ)의 실수 $b$에 대하여 집합 $A$는 다음과 같다.

$A = \{ k \mid 2b - k > 0, \; k\text{는 정수} \}$

(ㅁ) [삼각함수의 성질과 원주율]
(가) $\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right), \quad \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$
(나) 원주율 $\pi$의 값은 $\pi = 3.141592\dots$ 임이 알려져 있고, $1.570 < \frac{\pi}{2} < 1.571$ 이다.

[제시문]

(ㄱ) 실수 $a$에 대하여 함수 $f(x)$는 다음과 같다.

$f(x) = \begin{cases} x^3 - ax^2 - a^2 x + 4a + 2a^2 & (x \ge 0) \\ -(a+4)^2 x + 4a + 2a^2 & (x < 0) \end{cases}$

(ㄴ) 양수 $k$와 제시문 (ㄱ)의 실수 $a$, 함수 $f(x)$에 대하여 닫힌구간 $[-k, k]$에서 $f(x)$의 최댓값을 $g(a)$라고 하자.

(ㄷ) 제시문 (ㄴ)의 양수 $k$와 함수 $g(a)$에 대하여 구간 $(-\infty, \infty)$에서 $g(a)$의 최솟값을 $m$이라고 할 때, 다음 조건을 만족시키는 $k$값 전체의 집합을 $A$라고 하자.

$g(a) = m$을 만족시키는 $a$의 값은 단 하나만 존재한다.

[제시문]

(ㄱ) 다음 조건을 만족시키는 모든 실수 $k$의 집합을 $A$라고 하자.

모든 실수 $x$에 대하여 $\log_{\left(\frac{1}{2}k - 5\right)} \left\{ -(k-11)x^2 + (k-11)x + 2 \right\}$ 가 정의된다.

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 집합 $A$에 대하여 집합 $B$를 다음과 같이 정의한다.

$B = \left\{ (m, n) \mid \frac{1}{3}m^2 + n \in A, \; n > 1, \; m\text{과 } n\text{은 정수} \right\}$

(ㄷ) 제시문 (ㄴ)의 집합 $B$에 대하여 집합 $C$를 다음과 같이 정의한다.

$C = \left\{ (m, n) \mid (m, n) \in B\text{ 이고, } x^n = m\text{을 만족하는 실수 } x\text{가 존재한다.} \right\}$

(ㄹ) [$a$의 $n$제곱근] $n$이 2 이상의 정수일 때, $n$제곱하여 실수 $a$가 되는 수, 즉 $x^n = a$를 만족시키는 수 $x$를 $a$의 $n$제곱근이라고 한다.

[제시문]

(ㄱ) 좌표평면 위의 원 $C_1, C_2$는 다음과 같다.

$C_1: (x-1)^2 + y^2 = \frac{1}{5}, \quad C_2: (x+2)^2 + (y+3)^2 = \frac{4}{5}$

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 원 $C_1, C_2$에 동시에 접하는 직선 중 기울기가 최대인 직선을 $l$, 최소인 직선을 $m$이라 하자.

(ㄷ) 제시문 (ㄱ)의 원 $C_1, C_2$와 제시문 (ㄴ)의 직선 $l, m$에 대하여 정의역이 열린구간 $(0, 1)$인 함수 $f(t), g(t)$를 다음과 같이 정의한다.

- $f(t) = \sin(\angle P_1 A_1 Q_1)$ : 직선 $l$ 위의 한 점 $A_1(t, 2t-1)$에 대하여 두 점 $P_1, Q_1$은 원 $C_1$과 직선 $l$의 접점이거나, 점 $A_1$에서 원 $C_1$에 그은 접선과 원 $C_1$의 접점이다.
- $g(t) = \sin(\angle P_2 A_2 Q_2)$ : 직선 $m$ 위의 한 점 $A_2(t, \frac{1}{2}t-1)$에 대하여 두 점 $P_2, Q_2$는 원 $C_2$와 직선 $m$의 접점이거나, 점 $A_2$에서 원 $C_2$에 그은 접선과 원 $C_2$의 접점이다.

(ㄹ) 제시문 (ㄷ)의 두 함수 $f(t), g(t)$에 대하여 열린구간 $(0, 1)$에서 함수 $y = f(t)g(t)$의 최댓값을 $M$이라 하자.

[제시문]

(ㄱ) 함수 $f(t)$를 다음과 같이 정의한다.

$f(t) = \int_{0}^{t} \left\{ \frac{1}{(1+x^4)^{1/4}} - \frac{x^4}{(1+x^4)^{5/4}} \right\} dx$

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 함수 $f(t)$에 대하여 수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t$에서의 속도 $v(t)$는 다음과 같다.

$v(t) = 3t^2 \{ f(t) + 1 \}$

(ㄷ) 제시문 (ㄴ)의 점 $P$에 대하여 $s$는 $t=0$에서 $t=1$까지 점 $P$가 움직인 거리이다.

[제시문]

(ㄱ) 수열 ${a_n}$은 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $a_1 = 0$

(나) 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n < a_{n+1}$ 이다.

(다) 실수 $x$가 $a_n < x \le a_{n+1}$ 일 때, 집합 $\left\{ \frac{1}{k} \ln\frac{k}{x} \;\middle|\; 1 \le k \le 5n, \; k\text{는 자연수} \right\}$의 원소 중 최댓값은 $\frac{1}{n} \ln\frac{n}{x}$ 이다.

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 수열 ${a_n}$에 대하여 급수의 합 $S$를 다음과 같이 정의한다.

$S = \sum_{n=1}^{\infty} \left\{ \left(\frac{a_{n+1}}{n}\right)^{1/n} - \left(\frac{a_n}{n}\right)^{1/n} \right\}$

[제시문]

(ㄱ) 상자 $A$에는 검은 공 $1$개와 흰 공 $4$개가 들어 있고 상자 $B$에는 검은 공 $3$개와 흰 공 $2$개가 들어 있다. 서로 다른 주사위 $3$개를 동시에 던져 나온 눈의 수 중 가장 큰 수와 가장 작은 수의 차이가 $2$ 또는 $4$이면 상자 $A$에서, 아니면 상자 $B$에서 공을 하나 뽑는 시행을 두 번 반복한다. (단, 뽑힌 공은 상자에 다시 넣지 않는다.)

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 시행에 대하여 첫 번째 시행에서 검은 공이 나올 확률을 $p$, 첫 번째 시행에서 흰 공이 나왔을 때 두 번째 시행에서 검은 공이 나올 확률을 $q$라고 하자.

[제시문]

(ㄱ) 학생 $A$와 $B$를 포함하는 $k+2$명으로 구성된 동아리에 대하여 아래 경우의 수를 $a_k$라고 하자. (단, $k$는 $3$ 이상인 자연수이다.)

학생 $A, B$를 포함하여 동아리 학생 $5$명을 뽑아 원탁에 앉힐 때 $A$와 $B$가 서로 이웃하여 앉는 경우의 수

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 $a_k$와 $3$보다 큰 소수 $p$에 대하여 다음 집합 $S$의 가장 작은 원소를 $b_k$라고 하자.

$S = \left\{ m \mid m\text{은 } m \ge \frac{p}{a_k} \text{인 자연수} \right\}$

(ㄷ) 제시문 (ㄴ)의 $p$와 $b_k$에 대하여 $L$은 다음과 같다.

$L = \sum_{k=3}^{p-1} b_k$

[제시문]

(ㄱ) 상수 $n$에 대하여 명제 $p$는 다음과 같다.

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$가 $x = \alpha$에서 극댓값을 가지고 $x = \beta$에서 극솟값 $0$을 가지면 방정식 $f(x-f(x)) = f(x)$는 열린구간 $(\alpha, \beta)$에서 $n$개의 실근을 갖는다.

(ㄴ) 최고차항의 계수 $k$가 양수인 삼차함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 방정식 $f(x-f(x)) = f(x)$의 모든 실근은 $a, b, c, d, e$ 이고 $f(b) = f(d)$ 이다. (단, $a < b < c < d < e$)

(나) 함수 $f(x)$의 극솟값은 $0$ 이다.

이 함수 $f(x)$와 실수 $k, a, b, c$에 대하여 $m = k(b-a)f(2b-c)$라고 하자.