모든 자연수 $n$에 대하여 등비수열 $\{b_n\}$이 $b_n = a_n + \alpha$ 이다. 수열 $\{a_n\}$에 대한 값 $a_1 = 6$, $a_2 = 4$, $a_3 = 3$을 대입하면 다음이 성립한다: $$ b_1 = 6 + \alpha, \quad b_2 = 4 + \alpha, \quad b_3 = 3 + \alpha $$ $\{b_n\}$이 등비수열이므로 인접한 항들 사이에 공비 $r$이 일정하다. 즉, $$ \begin{aligned} \frac{b_2}{b_1} = \frac{b_3}{b_2} \implies \frac{4+\alpha}{6+\alpha} \\ = \frac{3+\alpha}{4+\alpha} \end{aligned} $$ 양변에 분모를 곱하여 방정식을 풀면: $$ \begin{aligned} (4+\alpha)^2 = (6+\alpha)(3+\alpha) \implies \alpha^2 + 8\alpha + 16 \\ = \alpha^2 + 9\alpha + 18 \end{aligned} $$ 이로부터 $\alpha = -2$ 임을 얻는다. $\alpha = -2$를 대입하면 등비수열 $\{b_n\}$의 각 항은 다음과 같다: $$ b_1 = 6 - 2 = 4, \quad b_2 = 4 - 2 = 2 $$ 공비 $r = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ 이므로 등비수열 $\{b_n\}$의 일반항은 다음과 같다: $$ b_n = 4 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} $$ $n=7$일 때의 값 $b_7$을 구하면: $$ \begin{aligned} b_7 = 4 \times \left(\frac{1}{2}\right)^6 \\ = \frac{4}{64} = \frac{1}{16} \end{aligned} $$ 최종적으로 $b_7 = a_7 + \alpha$ 관계식에 대입하여 $a_7$의 값을 구하면: $$ \begin{aligned} \frac{1}{16} = a_7 - 2 \implies a_7 \\ = 2 + \frac{1}{16} = \frac{33}{16} \end{aligned} $$

조건 (가)에서 $\displaystyle \lim_{x \to 0} x^2 f\left(\frac{1}{x}\right) = -1$ 이다. $\frac{1}{x} = t$ 로 치환하면 $x \to 0$ 일 때 $t \to \infty$ 또는 $t \to -\infty$ 이다. $$ \lim_{t \to \infty} \frac{f(t)}{t^2} = -1 $$ $f(x)$는 다항함수이므로, (가) 조건에 의해 $f(x)$는 최고차항의 계수가 $-1$인 2차함수임을 알 수 있다. $$ f(x) = -x^2 + ax + b $$ 조건 (나)에서 $\displaystyle \lim_{x \to -1} \frac{f(x)}{x+1} = f(1)$ 이다. $x \to -1$ 일 때 분모가 $0$으로 수렴하고 극한값이 존재하므로, 분자도 $0$으로 수렴해야 한다. 즉, $f(-1) = 0$ 이다. 따라서 $f(x)$는 $(x+1)$을 인수로 가지며 다음과 같이 표현된다: $$ f(x) = -(x+1)(x-c) $$ 이 식을 조건 (나)의 좌변에 대입하면: $$ \begin{aligned} \lim_{x \to -1} \frac{-(x+1)(x-c)}{x+1} = \lim_{x \to -1} -(x-c) \\ = 1+c \end{aligned} $$ 조건 (나)의 우변은 $f(1) = -(1+1)(1-c) = -2(1-c) = 2c-2$ 이므로: $$ 1+c = 2c-2 \implies c = 3 $$ 따라서 구하는 함수 $f(x)$는 다음과 같다: $$ f(x) = -(x+1)(x-3) = -x^2 + 2x + 3 $$ 마지막으로 $f(2)$의 값을 계산하면: $$ f(2) = -(2+1)(2-3) = -3 \times (-1) = 3 $$

주어진 방정식은 $\tan x$에 대한 2차방정식이므로 $\tan x = t$ 로 치환한다. $$ 3t^2 - 8t - 3 = 0 \implies (3t + 1)(t - 3) = 0 $$ 따라서 $t = \tan x = 3$ 또는 $\tan x = -\frac{1}{3}$ 이다. Case 1. $\tan x = 3$ 인 경우
$-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ 범위에서 $\tan x > 0$ 이므로 $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ 이며, 이 사분면에서 $\cos x > 0$ 이다. 삼각함수 사이의 관계 $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ 에 대입하면: $$ \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + 3^2 = 10 \implies \cos^2 x = \frac{1}{10} $$ $\cos x > 0$ 이므로 $\cos x = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$ 이다. Case 2. $\tan x = -\frac{1}{3}$ 인 경우
$-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ 범위에서 $\tan x < 0$ 이므로 $x \in (-\frac{\pi}{2}, 0)$ (4사분면)이며, 4사분면에서 $\cos x > 0$ 이다. 동일하게 관계식에 대입하면: $$ \begin{aligned} \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 \\ = \frac{10}{9} \implies \cos^2 x = \frac{9}{10} \end{aligned} $$ $\cos x > 0$ 이므로 $\cos x = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$ 이다.

따라서 구하는 모든 $\cos x$의 값은 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ 와 $\frac{3\sqrt{10}}{10}$ 이다.

함수 $f(x)$가 $x = 0$에서만 불연속이므로, 불연속 정의에 의해 우극한과 좌극한이 달라야 한다. $$ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x + |a|) = |a| $$ $$ \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = a $$ 따라서 $|a| \ne a$ 가 성립해야 하므로, 실수 $a$의 범위는 $a < 0$ 이다. 이때 $a < 0$ 이므로 각 구간별 방정식 $f(x) = 0$의 해를 조사한다. 1) $x < 0$ 일 때: $-x - a = 0 \implies x = -a$ 이다. 하지만 $a < 0$ 이므로 $-a > 0$ 이 되어 구간 조건 $x < 0$을 만족하지 않아 이 구간에서는 실근이 존재하지 않는다. 2) $x \ge 0$ 일 때: $x^2 + 3x + a = 0$ 의 근을 조사한다. $a < 0$ 이므로 두 근의 곱이 음수($a < 0$)가 되어 반드시 하나의 양의 실근과 하나의 음의 실근을 갖는다. 구간 조건 $x \ge 0$에 의해 유일한 실근은 양의 실근이다: $$ x = \frac{-3 + \sqrt{9 - 4a}}{2} $$ 이 실근의 값이 5보다 작아야 하므로: $$ \frac{-3 + \sqrt{9 - 4a}}{2} < 5 \implies \sqrt{9 - 4a} < 13 $$ 양변을 제곱하여 정리하면: $$ 9 - 4a < 169 \implies -4a < 160 \implies a > -40 $$ 따라서 정수 $a$의 범위는 $-40 < a < 0$ 이다. 이 범위를 만족하는 정수 $a$의 최댓값은 $-1$ 이고, 최솟값은 $-39$ 이다.

두 교점 $A, B$의 $x$좌표를 각각 $x_1, x_2$ ($x_1 < x_2$)라고 하면, 두 점은 직선 $y = x$ 위에 있으므로 좌표는 $A(x_1, x_1)$, $B(x_2, x_2)$ 이다. 두 점 사이의 거리 공식에 의해: $$ \begin{aligned} \overline{AB} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (x_2 - x_1)^2} \\ = \sqrt{2(x_2 - x_1)^2} = \sqrt{2}(x_2 - x_1) \end{aligned} $$ $\overline{AB} = \sqrt{2}$ 이므로 $x_2 - x_1 = 1 \implies x_2 = x_1 + 1$ 이다. 교점은 함수 $y = f(x)$ 위의 점이기도 하므로 다음 방정식 시스템을 만족한다: $$ 2^{x_1 - a} - 6a^2 = x_1 \quad \cdots\cdots \text{①} $$ $$ \begin{aligned} 2^{x_2 - a} - 6a^2 = x_2 \implies 2^{x_1 + 1 - a} - 6a^2 \\ = x_1 + 1 \quad \cdots\cdots \text{②} \end{aligned} $$ ②번 식에서 ①번 식을 빼면: $$ \left( 2 \cdot 2^{x_1 - a} - 6a^2 \right) - \left( 2^{x_1 - a} - 6a^2 \right) = (x_1 + 1) - x_1 $$ $$ 2^{x_1 - a} = 1 \implies x_1 - a = 0 \implies x_1 = a $$ $x_1 = a$를 ①번 식에 대입하면: $$ 2^0 - 6a^2 = a \implies 1 - 6a^2 = a \implies 6a^2 + a - 1 = 0 $$ 이 2차방정식을 인수분해하면: $$ (2a + 1)(3a - 1) = 0 $$ 따라서 구하는 실수 $a$의 값은 $a = -\frac{1}{2}$ 또는 $a = \frac{3}{16}$이 아닌 $a = \frac{1}{3}$ 이다.

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수를 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ 라고 한다. 조건 (가)에 의해 $f(x) - g(x) = 0$ 즉, $x^3 + ax^2 + (b-3)x + (c-1) = 0$ 은 서로 다른 세 실근 $-\alpha, 0, \alpha$ ($\alpha > 0$)를 가지므로 다음과 같이 인수분해된다: $$ f(x) - g(x) = x(x-\alpha)(x+\alpha) = x^3 - \alpha^2 x $$ 두 다항식을 비교하면: $$ \begin{aligned} a = 0, \quad c - 1 \\ = 0 \implies c = 1, \quad b - 3 = -\alpha^2 \implies \alpha^2 = 3 - b \end{aligned} $$ 서로 다른 세 실근을 가져야 하므로 $\alpha^2 = 3 - b > 0 \implies b < 3$ 이어야 한다. 함수 $y = f(x) - g(x) = x^3 - (3-b)x$ 는 원점에 대칭인 기함수이므로, 두 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이 $S$는 대칭성에 의해 구간 $[0, \alpha]$에서의 정적분의 2배가 된다: $$ \begin{aligned} S &= 2\int_{0}^{\alpha} \left| x^3 - \alpha^2 x \right| dx = 2\int_{0}^{\alpha} (\alpha^2 x - x^3) dx \\ &= 2 \left[ \frac{\alpha^2}{2}x^2 - \frac{1}{4}x^4 \right]_{0}^{\alpha} = 2\left( \frac{\alpha^4}{2} - \frac{\alpha^4}{4} \right) = \frac{\alpha^4}{2} \end{aligned} $$ 조건 (나)에서 이 넓이가 $8$이므로: $$ \begin{aligned} \frac{\alpha^4}{2} = 8 \implies \alpha^4 \\ = 16 \implies \alpha^2 = 4 \quad (\because \alpha^2 > 0) \end{aligned} $$ 따라서 $\alpha^2 = 3 - b = 4 \implies b = -1$ 이다. 이 값은 조건 $b < 3$을 만족한다. 구하는 삼차함수 $f(x)$는 다음과 같다: $$ f(x) = x^3 - x + 1 $$ 마지막으로 $f(3)$의 값을 구하면: $$ f(3) = 3^3 - 3 + 1 = 27 - 3 + 1 = 25 $$

함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 + a$ 의 도함수를 구하면: $$ f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) $$ $f'(x) = 0$ 이 되는 점은 $x = 0$ 또는 $x = 2$ 이다. 삼차함수 $f(x)$는 $x = 0$에서 극대값 $f(0) = a$를 갖고, $x = 2$에서 극소값 $f(2) = a - 4$를 갖는다. 절댓값 함수 $|f(x)|$의 극값의 개수는 원래 함수 $f(x)$의 극대/극소값의 부호와 $x$축과의 위치 관계에 의해 결정된다. 원래 $f(x)$가 2개의 극값을 가지므로, 접어 올린 함수 $|f(x)|$가 오직 2개의 극값을 갖기 위해서는 삼차함수의 개형 상 극대값과 극소값 중 적어도 하나가 $0$이어야 한다. Case 1. 극대값 $f(0) = 0$ 인 경우
$a = 0$ 이다. 이때 $f(x) = x^3 - 3x^2$ 이며 극소값은 $-4$ 이다. $x \le 0$ 에서 감소하다 극대점 $(0,0)$에서 접한 뒤 다시 $x=2$까지 감소하여 극소점 $(2,-4)$를 거쳐 증가한다. $|f(x)|$를 구하면 $x=0$에서 극소(0), $x=2$에서 극대(4), $x=3$근방의 절편에서 꺾여 뾰족한 극소(0)를 가지므로 극값은 총 3개가 되어 조건을 만족하지 않는다. (※ 실제 개형 확인 시 $a=0$일 때 극값은 $x=0, 2, 3$에서 총 3개임) Case 2. 극소값 $f(2) = 0$ 인 경우
$a - 4 = 0 \implies a = 4$ 이다. 이때 $|f(x)|$는 $x=2$에서 극소(0), $x=0$에서 극대(4), 접어 올려진 부분 $x=-1$에서 꺾여 뾰족한 극소(0)를 가지므로 극값이 총 3개가 된다. 조건을 만족하지 않는다. Case 3. $f(x) = 0$이 단 하나의 실근을 갖는 경우
극대값과 극소값이 같은 부호를 가질 때이다. 즉, $a(a-4) > 0$ 이므로 $a > 4$ 또는 $a < 0$ 이다. 이 경우 $x$축과의 교점이 1개뿐이므로 꺾이는 점이 1개만 발생한다. 증감표 상 꺾이는 점(극소 0) 1개와 원래 극값 위치 중 접어 올려진 곳(극대 또는 극소) 1개로 총 2개의 극값만 갖게 된다. 따라서 조건을 만족하는 실수 $a$의 범위는 $a > 4$ 또는 $a < 0$ 이다.