$$\log_a b - \log_b a = \frac{\log b}{\log a} - \frac{\log a}{\log b} = 0$$

$$\frac{(\log b)^2 - (\log a)^2}{\log a \log b} = \frac{(\log b + \log a)(\log b - \log a)}{\log a \log b} = 0$$

$a \ne b$이므로 $\log b - \log a \ne 0$이다. 따라서

$$\log b + \log a = \log ab = 0 \implies ab = 1$$

$a, b$가 $1$이 아닌 양수이므로 산술-기하 평균의 관계에 의하여

$$9a + 25b \ge 2\sqrt{9a \times 25b} = 2\sqrt{225 ab} = 2 \times 15 = 30$$

따라서 최솟값 $m = 30$이고, 등호는 $9a = 25b$일 때 성립한다.

$$ab = 1 \implies 9a = \frac{25}{a} \implies 9a^2 = 25 \implies a = \frac{5}{3}$$

따라서 이때의 $a = \alpha = \frac{5}{3}$이다.

첫째항이 $2$이고 공차가 $3$인 등차수열 $\{a_n\}$의 일반항은 $a_n = 2 + (n-1)\times 3 = 3n - 1$이다.

$$\sum_{k=1}^{6} (a_k)^3 = \sum_{k=1}^{6} (3k-1)^3 = \sum_{k=1}^{6} (27k^3 - 27k^2 + 9k - 1)$$

$$= 27 \times \left(\frac{6 \times 7}{2}\right)^2 - 27 \times \frac{6 \times 7 \times 13}{6} + 9 \times \frac{6 \times 7}{2} - 6 = 9633$$

$13 S_n > 9633$에서 $S_n > 741$이다. 등차수열의 합 공식에 의해

$$S_n = \frac{n\{4 + 3(n-1)\}}{2} = \frac{n(3n+1)}{2} > 741$$

$$S_{22} = \frac{22 \times 67}{2} = 737, \quad S_{23} = \frac{23 \times 70}{2} = 805$$

이므로 부등식을 만족하는 자연수 $n$의 최솟값은 $23$이다.

제1사분면에서 두 곡선 $|2x| + y = t \implies y = t - 2x$와 $y = x^2$의 교점의 $x$좌표는 $x^2 + 2x - t = 0$에서 $x = -1 + \sqrt{1+t}$이다.

두 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이 $S(t)$는

$$S(t) = 2 \int_{0}^{-1+\sqrt{1+t}} (t - 2x - x^2) dx = 2 \left[ tx - x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right]_0^{-1+\sqrt{1+t}}$$

$$= 2t(\sqrt{1+t}-1) - 2(\sqrt{1+t}-1)^2 - \frac{2}{3}(\sqrt{1+t}-1)^3$$

$$\lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{t}S(t)}{t^3} = \lim_{t \to \infty} \frac{S(t)}{t^{\frac{5}{2}}}$$

$$= \lim_{t \to \infty} \frac{2t^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}} + \cdots}{t^{\frac{5}{2}} \times t^{-1}} = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$$

$$|x^2 - 2x| + x = \begin{cases} x^2 - x & (x \le 0) \\ -x^2 + 3x & (0 < x \le 2) \\ x^2 - x & (x > 2) \end{cases}$$

이고 $y = -x^2 + 3x = -\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{9}{4}$이므로 함수 $y = |x^2 - 2x| + x$의 $x = \frac{3}{2}$에서의 극댓값(최댓값)은 $\frac{9}{4}$이다.

따라서 교점의 개수 함수 $f(t)$는

$$f(t) = \begin{cases} 0 & (t < 0) \\ 1 & (t = 0) \\ 2 & (0 < t < 2) \\ 3 & (t = 2) \\ 4 & \left(2 < t < \frac{9}{4}\right) \\ 3 & \left(t = \frac{9}{4}\right) \\ 2 & \left(t > \frac{9}{4}\right) \end{cases}$$

함수 $f(t)$는 $t = 0, t = 2, t = \frac{9}{4}$에서 불연속이다. $g(t)$는 실수 전체에서 연속인 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수이므로 $f(t)g(t)$가 연속이려면

$$g(0) = 0, \quad g(2) = 0, \quad g\left(\frac{9}{4}\right) = 0$$

$$g(t) = t(t-2)\left(t - \frac{9}{4}\right)$$

$f(1) = 2$, $g(1) = 1(1-2)\left(1 - \frac{9}{4}\right) = \frac{5}{4}$이므로

$$f(1) + g(1) = 2 + \frac{5}{4} = \frac{13}{4}$$

이차함수 $f(x)$의 최고차항의 계수가 $-\frac{1}{2}$이고 $x=8$에서 최댓값을 가지므로

$$f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 8x + c \quad (c\text{는 상수})$$

라 둘 수 있다. $f(x+1) - f(x) = -x + \frac{15}{2}$이므로

$$\left|f(x+1) - f(x) - \frac{7}{2}\right| = \left|-x + \frac{15}{2} - \frac{7}{2}\right| = |-x + 4|$$

$$g(x) = \begin{cases} -\frac{1}{2}x^2 + 8x + c & (x \le a) \\ |x-4| & (x > a) \end{cases}$$

만일 $a < 4$이면 $\lim_{x \to 4-} \frac{g(x)-g(4)}{x-4} = -1$, $\lim_{x \to 4+} \frac{g(x)-g(4)}{x-4} = 1$이므로 $g(x)$는 $x=4$에서 미분 불가능하고, 이는 가정에 모순이다.

$a \ge 4$일 때, $g(x)$가 $x=a$에서 연속이고 미분가능하려면

좌미분계수 $-a + 8$, 우미분계수 $1$에서 $-a + 8 = 1 \implies a = 7$

따라서 $f(a) = f(7) = g(7) = 7 - 4 = 3$이다.

$$f(x) = 2(-\cos x)^2 - 2\sin x + 5 = 2(1 - \sin^2 x) - 2\sin x + 5$$

$$= -2\sin^2 x - 2\sin x + 7 = -2\left(\sin x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{15}{2}$$

$\sin x = t$라 놓으면 $-1 \le t \le 1$이다.

$$f(t) = -2\left(t + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{15}{2}$$

$t = -\frac{1}{2}$일 때, 최댓값 $\alpha = \frac{15}{2}$이고,

$t = 1$일 때, 최솟값 $\beta = -2\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \frac{15}{2} = 3$이다.

따라서 $\alpha \beta = \frac{15}{2} \times 3 = \frac{45}{2}$이다.