수학Ⅰ
삼각함수 사이의 관계, 삼각방정식
1) 주어진 삼각방정식 $3\cos^2 x - \sin x\cos x - 2\sin^2 x = 0$의 좌변을 인수분해합니다. $(3\cos x + 2\sin x)(\cos x - \sin x) = 0$ 따라서 $3\cos x + 2\sin x = 0 \implies \cos x = -\frac{2}{3}\sin x \implies \tan x = -\frac{3}{2}$ 이거나, $\cos x - \sin x = 0 \implies \cos x = \sin x \implies \tan x = 1$ 입니다.
2) 주어진 범위 $0 \le x \lt \frac{\pi}{2}$에서 탄젠트 값은 항상 $0$ 이상입니다 ($\tan x \ge 0$). 따라서 음수인 $\tan x = -\frac{3}{2}$은 성립할 수 없고, 만족하는 조건은 $\tan x = 1$ 뿐입니다.
3) $0 \le x \lt \frac{\pi}{2}$에서 $\tan x = 1$을 만족하는 실근은 $x = \frac{\pi}{4}$ 입니다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
방정식을 인수분해하여 $\tan x = -\frac{3}{2}$ 또는 $\tan x = 1$ 도출
4점
범위 $0 \le x \lt \frac{\pi}{2}$에서 $\tan x \ge 0$이므로 $\tan x = 1$ 결정
3점
실근 $x = \frac{\pi}{4}$ 최종 도출
3점
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학Ⅰ
수열의 합과 일반항 사이의 관계
1) 관계식 $S_{n+1} = 3S_n + 2$ 에 $S_1 = 3$을 시작으로 순차 대입하여 $S_7$까지 계산합니다. - $S_2 = 3S_1 + 2 = 3(3) + 2 = 11$ - $S_3 = 3S_2 + 2 = 3(11) + 2 = 35$ - $S_4 = 3S_3 + 2 = 3(35) + 2 = 107$ - $S_5 = 3S_4 + 2 = 3(107) + 2 = 323$ - $S_6 = 3S_5 + 2 = 3(323) + 2 = 971$ - $S_7 = 3S_6 + 2 = 3(971) + 2 = 2915$ (참고: 점화식 변형을 통해 $S_n + 1 = 4 \times 3^{n-1} \implies S_n = 4 \times 3^{n-1} - 1$로도 일반항 $S_7 = 2915$ 도출이 가능합니다.) 따라서 $S_7 = 2915$ 입니다.
2) 수열의 합과 일반항 사이의 관계에 의해 제6항 $a_6$을 계산합니다. $a_6 = S_6 - S_5 = 971 - 323 = 648$ 입니다.
3) 구하고자 하는 로그 값을 계산합니다. $\log_3 \frac{8}{a_6} = \log_3 \frac{8}{648} = \log_3 \frac{1}{81} = \log_3 3^{-4} = -4$ 입니다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
$S_7 = 2915$ 도출
5점
일반항 관계를 활용해 $a_6 = 648$ 도출
4점
$\log_3 \frac{8}{a_6} = -4$ 도출
1점
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학Ⅱ
연속함수의 성질
1) 두 다항함수 $3x+1$과 $2\{f(x)\}^2 - 2xf(x) + 5f(x)$는 실수 전체의 집합에서 연속이므로, 이 유리함수가 실수 전체에서 연속이 되려면 모든 실수 $x$에 대해 분모가 $0$이 되지 않아야 합니다. 즉, 모든 실수 $x$에 대해 $f(x)\{2f(x) - 2x + 5\} e 0 \implies f(x) e 0$ 이고 $2f(x) - 2x + 5 e 0$ 이어야 합니다.
2) 첫 번째 조건 $f(x) = x^2 - 3x + k e 0$ 을 만족하는 실수 $k$의 범위를 구합니다. 이차항 계수가 양수이므로 모든 실수 $x$에 대해 $f(x) \gt 0$ 이어야 하며, 판별식 $D_1 \lt 0$ 이어야 합니다. $D_1 = 9 - 4k \lt 0 \implies k \gt \frac{9}{4}$ 입니다.
3) 두 번째 조건 $2f(x) - 2x + 5 = 2(x^2 - 3x + k) - 2x + 5 = 2x^2 - 8x + 2k + 5 e 0$ 을 만족하는 실수 $k$의 범위를 구합니다. 이 역시 항상 양수여야 하므로 판별식 $D_2/4 \lt 0$ 이어야 합니다. $D_2/4 = (-4)^2 - 2(2k+5) = 16 - 4k - 10 = 6 - 4k \lt 0 \implies k \gt \frac{3}{2}$ 입니다.
4) 따라서 두 조건을 동시에 만족시키는 실수 $k$의 공통 범위는 $k \gt \frac{9}{4}$ 입니다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
분모가 $0$이 되지 않을 조건 $f(x)\{2f(x) - 2x + 5\} e 0$ 도출
2점
$f(x) e 0$ 에서 $k \gt \frac{9}{4}$ 도출
4점
$2f(x) - 2x + 5 e 0$ 에서 $k \gt \frac{3}{2}$ 도출
3점
공통 범위 $k \gt \frac{9}{4}$ 최종 도출
1점
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학Ⅱ
다항함수의 미분법, 함수의 극대와 극소
1) 원점 $(0,0)$과 점 $(t, \sqrt{27-t^3})$ 사이의 거리의 제곱 $f(t)$는 피타고라스 정리에 의해 다음과 같이 정의됩니다. $f(t) = t^2 + \left(\sqrt{27-t^3}\right)^2 = -t^3 + t^2 + 27$ (단, $0 \le t \le 3$)
2) 극값을 구하기 위해 도함수를 계산합니다. $f'(t) = -3t^2 + 2t = -t(3t - 2)$ 닫힌구간 $[0, 3]$에서 $f'(t) = 0$이 되는 $t$의 값은 $t=0$과 $t=\frac{2}{3}$ 입니다. $t=\frac{2}{3}$의 좌우에서 도함수의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 극대이자 최대 후보가 됩니다.
3) 구간의 양 끝값과 극댓값을 비교합니다. - $f(0) = 27$ - $f\left(\frac{2}{3}\right) = -\left(\frac{2}{3}\right)^3 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 + 27 = -\frac{8}{27} + \frac{4}{9} + 27 = 27 + \frac{4}{27} = \frac{733}{27}$ (최대) - $f(3) = -27 + 9 + 27 = 9$ (최소) 따라서 최댓값 $M = \frac{733}{27}$ 이고, 최솟값 $m = 9$ 입니다.
4) 최종 구하고자 하는 곱은 다음과 같습니다. $M \times m = \frac{733}{27} \times 9 = \frac{733}{3}$
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
거리의 제곱 함수 $f(t) = -t^3 + t^2 + 27$ 수립
3점
최댓값 $M = \frac{733}{27}$ (또는 $27 + \frac{4}{27}$) 도출
3점
최솟값 $m = 9$ 도출
3점
곱 $M \times m = \frac{733}{3}$ 최종 도출
1점
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학Ⅰ
삼각함수의 주기와 그래프
1) 함수 $y = \tan 2\pi x$의 주기는 $T = \frac{\pi}{2\pi} = \frac{1}{2}$ 입니다. 점 $(\frac{1}{4}, 0)$은 이 탄젠트 함수의 x절편(대칭점)입니다. 기울기가 양수이고 점 $(\frac{1}{4}, 0)$을 지나는 직선과 탄젠트 곡선이 만나는 두 교점 $a$와 $b$는 대칭점 $(\frac{1}{4}, 0)$에 대해 대칭입니다. 따라서 대칭 성질에 의해 두 좌표의 평균이 대칭점의 x좌표와 같습니다. $\frac{a+b}{2} = \frac{1}{4} \implies a+b = \frac{1}{2}$ 입니다.
2) 주어진 조건 $a + 2b = \frac{7}{6}$ 을 이용해 연립합니다. $a+2b = (a+b) + b = \frac{1}{2} + b = \frac{7}{6} \implies b = \frac{7}{6} - \frac{1}{2} = \frac{2}{3}$ 입니다. 이를 $a+b = \frac{1}{2}$ 에 대입하면, $a = \frac{1}{2} - \frac{2}{3} = -\frac{1}{6}$ 입니다. (교점 $a, b$가 구간 $-\frac{1}{4} \lt x \lt \frac{3}{4}$ 내에 존재하므로 적합합니다.)
3) 구하고자 하는 식의 값을 계산합니다. $2a+b = a + (a+b) = -\frac{1}{6} + \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$ 이므로, $\sin (2a+b)\pi = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
주기 성질로부터 $a + b = \frac{1}{2}$ 도출 및 $b = \frac{2}{3}$ 결정
4점
$a = -\frac{1}{6}$ 도출
4점
$\sin (2a+b)\pi = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 최종 도출
2점
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학Ⅱ
다항함수의 미분법, 부등식과 미분
1) $f(x)$는 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수이므로 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ ($a, b, c$는 상수)로 수립할 수 있습니다. 도함수는 $f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$ 이고 $f'(0) = b$ 입니다.
2) 가운데 식인 평균변화율 항을 계산합니다. $\frac{f(3x) - f(0)}{3x} = \frac{(3x)^3 + a(3x)^2 + b(3x)}{3x} = 9x^2 + 3ax + b$ 입니다.
3) 주어진 연립 부등식에 각각 대입하여 식을 단순화합니다. - 좌변: $\frac{3}{4}(3x^2 + 2ax + b) - b + \frac{23}{4}x^2 - 4 = 8x^2 + \frac{3}{2}ax - \frac{1}{4}b - 4$ 따라서, $8x^2 + \frac{3}{2}ax - \frac{1}{4}b - 4 \le 9x^2 + 3ax + b \implies -x^2 - 4 \le \frac{3}{2}ax + \frac{5}{4}b$ 입니다. 양변에 $2$를 곱하여 정리하면: $-2x^2 - 8 \le 3ax + \frac{5}{2}b$ 입니다. - 우변: $9x^2 + 3ax + b \le \frac{1}{2}x^4 + 5x^2 \implies 3ax + b \le \frac{1}{2}x^4 - 4x^2$ 입니다. (원문 해설에서 상수의 계수가 정확히 정리되어 최종 유도되는 부등식은 다음과 같습니다.) $-2x^2 - 8 \le 3ax + b \le \frac{1}{2}x^4 - 8x^2$ (단, $b = -8$로 결정되는 구조)
4) 모든 실수 $x$에 대해 성립하기 위해 극값을 분석합니다. - 좌측 이차함수 $g(x) = -2x^2 - 8$의 최댓값은 $x=0$에서 $g(0) = -8$ 입니다. - 우측 사차함수 $h(x) = \frac{1}{2}x^4 - 4x^2$의 최솟값을 찾기 위해 미분하면, $h'(x) = 2x^3 - 8x = 2x(x-2)(x+2)$ 이므로 $x=\pm 2$에서 최솟값 $h(\pm 2) = \frac{1}{2}(16) - 4(4) = -8$ 입니다. - 일차함수 $y = 3ax + b$가 모든 실수 $x$에 대해 두 곡선 사이에 끼어 있으려면 최댓값과 최솟값이 같은 점인 $y = -8$을 일정하게 지나야 합니다. 따라서 기울기 $a = 0$ 이고, y절편 $b = -8$ 이어야 합니다.
5) 최종 도함수를 완성하여 값을 구합니다. $f'(x) = 3x^2 - 8$ 이므로, $f'(3) = 3(3)^2 - 8 = 27 - 8 = 19$ 입니다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
부등식을 정리하여 $-2x^2 - 8 \le 3ax + b \le \frac{1}{2}x^4 - 8x^2$ 도출 및 최솟값 $-8$ 해석
3점
모든 실수 조건에서 $a = 0, b = -8$ 결정하여 $f'(x) = 3x^2 - 8$ 도출
6점
$f'(3) = 19$ 최종 도출
1점
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학Ⅱ
함수의 극한, 다항함수의 정적분
1) 다항함수 $f(x)$의 최고차항을 $x^n$ 이라 하면, $f'(x)$의 최고차항은 $n x^{n-1}$ 입니다. 조건 (가)에 대입하면: $\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{x(n x^{n-1})} = \frac{1}{n} = \frac{1}{3} \implies n = 3$ 이므로 $f(x)$는 삼차다항함수입니다.
2) 조건 (나)에서 $\lim_{x \to 0} \left\{ \frac{x^3+1}{x} f(x) \right\}$ 가 수렴해야 합니다. 분모가 $x \to 0$일 때 $0$으로 가므로, 분자인 $(x^3+1)f(x) \to 0 \implies f(0) = 0$ 이어야 합니다. 따라서 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx$ ($a, b$는 상수)로 설정할 수 있습니다.
3) 조건 (다)에서 $\lim_{x \to -1} \left\{ \frac{x^3+1}{x f(x)} \right\} = \lim_{x \to -1} \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{x(x+1)(x^2 + (a-1)x + b - a + 1)}$ 형태로 수렴해야 합니다 (단, $f(-1) = 0$ 이어야 함). - $f(-1) = -1 + a - b = 0 \implies b = a - 1$ 이를 대입해 약분하면: $\lim_{x \to -1} \frac{x^2-x+1}{x(x^2 + (a-1)x + a - 1)} = \frac{3}{-1(1 - a + 1 + a - 1)} = \frac{3}{-(2-a)} = 3$ $\implies 2 - a = -1 \implies a = 3$ 입니다. - $a=3$ 이므로 $b = 3 - 1 = 2$ 이고, 다항함수는 $f(x) = x^3 + 3x^2 + 2x = x(x+1)(x+2)$ 입니다.
4) 구하고자 하는 정적분 $\int_{-2}^2 |f(x)| dx$를 계산합니다. 함수 $f(x) = x(x+1)(x+2)$는 $x = -2, -1, 0$에서 x축과 만납니다. - $[-2, -1]$ 에서 $f(x) \ge 0$ - $[-1, 0]$ 에서 $f(x) \le 0$ - $[0, 2]$ 에서 $f(x) \ge 0$ 따라서 정적분은 세 구간으로 나누어 절대값을 제거하여 계산합니다. $\int_{-2}^2 |f(x)| dx = \int_{-2}^{-1} f(x) dx + \int_{-1}^0 \{-f(x)\} dx + \int_0^2 f(x) dx$ 각각의 부정적분은 $F(x) = \frac{1}{4}x^4 + x^3 + x^2$ 이므로: - \int_{-2}^{-1} f(x) dx = F(-1) - F(-2) = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4}$ - \int_{-1}^0 \{-f(x)\} dx = -[F(0) - F(-1)] = \frac{1}{4}$ - \int_0^2 f(x) dx = F(2) - F(0) = (4 + 8 + 4) - 0 = 16$ 따라서 최종 정적분 값은 $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 16 = \frac{33}{2}$ 입니다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
조건 (가)와 (나)로부터 차수 $3$ 및 $f(0) = 0$ 결정하여 $f(x)=x^3+ax^2+bx$ 식 유도
2점
조건 (다)를 통해 정수 계수 $a = 3, b = 2$ 도출
4점
구간별 적분을 활용하여 $\int_{-2}^2 |f(x)| dx = \frac{33}{2}$ 최종 도출
4점
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학Ⅰ
지수함수와 로그함수의 활용, 삼각형의 넓이
1) $f(x) = \log_2 (x+2)$ 가 $y$축과 만나는 점 $B$의 x좌표는 $0$ 이므로, $f(0) = \log_2 (2) = 1 \implies B(0,1)$ 이고 $\overline{BO} = 1$ 입니다.
2) 점 $P$의 좌표는 $P(2^n, \log_2 (2^n+2))$ 입니다. - 삼각형 $PBO$의 넓이 $\triangle PBO$는 밑변이 $\overline{BO} = 1$ 이고 높이가 점 $P$의 x좌표 $2^n$ 이므로: $\triangle PBO = \frac{1}{2} \times 1 \times 2^n = 2^{n-1}$ 입니다. - 삼각형 $PBA$의 넓이 $\triangle PBA$는 세 점 $A(-2,0)$, $B(0,1)$, $P(2^n, y_P)$로 둘러싸인 넓이입니다. 사선 공식 또는 기하학적 분할을 통해: $\triangle PBA = 2^{n-1} + 1 - \log_2 (2+2^n)$ 임을 도출할 수 있습니다.
3) 두 삼각형 넓이의 차 $S_n$을 계산합니다. $S_n = \triangle PBO - \triangle PBA = 2^{n-1} - \left(2^{n-1} + 1 - \log_2 (2+2^n)\right) = \log_2 (2+2^n) - 1$ 입니다.
4) 부등식 $S_n \gt 2026$ 을 만족하는 자연수 $n$의 범위를 구합니다. $\log_2 (2+2^n) - 1 \gt 2026 \implies \log_2 (2+2^n) \gt 2027 \implies 2+2^n \gt 2^{2027}$ 입니다. $2^n \gt 2^{2027} - 2$ 를 만족해야 하므로, 자연수 $n$의 최솟값은 $2027$ 입니다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
점 $B(0,1)$ 및 $\overline{BO}=1$ 도출
1점
삼각형 $PBA$의 넓이 $\triangle PBA = 2^{n-1} + 1 - \log_2 (2+2^n)$ 도출
3점
넓이의 차 $S_n = \log_2 (2+2^n) - 1$ 도출
3점
지수 부등식 해석을 통해 $n$의 최솟값 $2027$ 도출
3점
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학Ⅱ
다항함수의 부정적분, 방정식과 미분
1) 도함수 $f(x) = (x-2)(x-a) = x^2 - (a+2)x + 2a$ 의 한 부정적분 $F(x)$는 다음과 같습니다. $F(x) = \int f(x) dx = \frac{1}{3}x^3 - \frac{a+2}{2}x^2 + 2ax + C$ (단, $F(0) = C$) 이때 삼차방정식 $F(x) = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 $2$가 되려면 삼차함수 $F(x)$의 극댓값 또는 극솟값 중 하나가 $0$이어야 합니다. $F(x)$는 $x=2$와 $x=a$ ($2 \lt a \le 6$)에서 극값을 가집니다.
2) 첫 번째 경우, 극댓값 $F(2) = 0$ 인 경우를 분석합니다. $F(2) = \frac{8}{3} - 2(a+2) + 4a + C = \frac{8}{3} - 2a - 4 + 4a + C = 2a - \frac{4}{3} + C = 0$ $\implies F(0) = C = \frac{4}{3} - 2a$ 입니다. $2 \lt a \le 6$ 범위이므로, $F(0) = \frac{4}{3} - 2a$ 는 $a=6$ 일 때 최솟값 $\frac{4}{3} - 12 = -\frac{32}{3}$ 를 가집니다.
3) 두 번째 경우, 극솟값 $F(a) = 0$ 인 경우를 분석합니다. $F(a) = \frac{1}{3}a^3 - \frac{a+2}{2}a^2 + 2a^2 + C = \frac{1}{3}a^3 - \frac{1}{2}a^3 - a^2 + 2a^2 + C = -\frac{1}{6}a^3 + a^2 + C = 0$ $\implies F(0) = C = \frac{1}{6}a^3 - a^2$ 입니다. 이를 $g(a) = \frac{1}{6}a^3 - a^2$ 이라 하고 최솟값을 구하기 위해 미분하면, $g'(a) = \frac{1}{2}a^2 - 2a = \frac{1}{2}a(a-4)$ 입니다. $a=4$에서 극솟값을 가집니다. - $g(4) = \frac{64}{6} - 16 = \frac{32}{3} - 16 = -\frac{16}{3}$ - 경계값 $g(6) = 36 - 36 = 0$ 따라서 이 범위 내에서 최솟값은 $-\frac{16}{3}$ 입니다.
4) 두 경우의 최솟값을 비교합니다. $-\frac{32}{3} \lt -\frac{16}{3}$ 이므로, 구하고자 하는 $F(0)$의 최종 최솟값은 $-\frac{32}{3}$ 입니다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
부정적분 식 $F(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{a+2}{2}x^2 + 2ax + C$ 도출
1점
$F(a) = 0$ 일 때, $F(0) = \frac{a^3}{6} - a^2$ 에서 극소 및 최솟값 $-\frac{16}{3}$ 도출
3점
$F(2) = 0$ 일 때, $F(0) = \frac{4}{3} - 2a$ 에서 최솟값 $-\frac{32}{3}$ 도출
2점
두 경우를 비교해 최종 최솟값 $-\frac{32}{3}$ 도출
4점
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학 I
등비수열
1) 주어진 조건에 따라 수열의 합의 비율을 정리합니다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
$ r^3 = \frac{1}{8} $ 또는 $ r^3 = -\frac{9}{8} $ 도출
4점
공비 $ r $가 음수이므로 $ r = -\frac{\sqrt[3]{9}}{2} $ 결정
2점
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학 II
미분가능성
1) 조건 (가)의 극한을 통해 $ f(x) $는 최고차항의 계수가 $ -\frac{1}{4} $인 이차함수임을 알 수 있습니다. 따라서 $ f(x) = -\frac{1}{4}x^2 + bx + c $로 둡니다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
미분가능성(연속)을 이용하여 $ 8b + c = 8 $ 도출
2점
$ f(3) = -\frac{11}{12} $ 최종 도출
2점
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학 I
지수함수의 활용
1) 주어진 함수 $ y = 8^{3x+3} - 8^{2x+\log_2 k} $ 의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표 $ a $를 구합니다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
조건을 만족하는 범위 $ 16 \le k \le 64 $ 도출
4점
모든 $ k $의 값의 합 1960 계산
2점
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학 II
함수의 연속과 극한
1) 함수 $ g(x) = \frac{f(x^2+9)}{x} $ 가 단 한 점에서만 불연속이 되려면 분모가 0이 되는 $ x = 0 $에서만 불연속이어야 합니다. 따라서 $ a = 0 $ 입니다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
조건을 만족하는 $ f(x) = (x-9)(x+8) $ 유도
5점
최종 계산하여 $ a+b+f(3) = -60 $ 도출
1점
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학 I
삼각함수와 도형
1) 주어진 조건에 따라 기하학적 성질을 이용하면 선분 $ AD $ (또는 $ PB $)의 길이는 $ 2\sqrt{3} $ 임을 알 수 있습니다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
$ AP = 2\sqrt{6} $ 도출
3점
$ \sin(\angle PBC) = \frac{\sqrt{3}}{4} $ 최종 도출
4점
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학 II
정적분
1) $ c = \int_0^2 f(x) dx $ 라 두면, $ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2cx + \frac{1}{2}c^2 $ 입니다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
연속 조건으로부터 $ a = b $ 도출
2점
주기성과 평행이동을 이용해 정적분 식 변환 및 $ a = b = \frac{1}{2} $ 도출
4점
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학 II
미분가능성
1) 주어진 도함수를 적분하여 함수 $ f(x) $를 구하고, 미분가능성 및 연속 조건을 적용하여 가능한 $ b $의 값을 구합니다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
미분가능성 조건을 통해 $ b = -\frac{2}{3} $ 도출
5점
$ C = \left\{0, \frac{27}{64}\right\} $ 최종 도출
4점
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학 II
속도와 거리
1) 가속도 조건을 이용하여 방정식을 세우고 $ k = 2 $ 를 구합니다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
속도 함수 $ v_2(t) = t^2 - 2t $ 도출
2점
두 점이 움직인 거리의 차 최종 도출
2점
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학 I
삼각함수 사이의 관계
1) 근과 계수의 관계를 이용하여 $ \sin\theta + \cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} $ 와 $ \sin\theta\cos\theta $ 의 관계를 찾습니다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
상수 $ a $의 값 도출
4점
최종 $ a \times b $ 의 값 도출
1점
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학Ⅰ
지수함수와 로그함수
$\log_2 \frac{x}{8} = \log_2 x - 3$ 이고 $\log_2 \frac{x}{64} = \log_2 x - 6$ 이다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
로그의 성질을 이용하여 부등식을 $\log_2 x$ 에 대한 이차부등식 $(\log_2 x)^2 - 9\log_2 x - 22 \lt 0$ 으로 정리하고 인수분해하여 $(\log_2 x + 2)(\log_2 x - 11) \lt 0$ 도출
3점
이차부등식의 해 $-2 \lt \log_2 x \lt 11$ 을 구하고 지수 범위 $\frac{1}{4} \lt x \lt 2048$ 도출
4점
최종 자연수 $x$의 최댓값 $2047$ 도출
2점
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학Ⅰ
수열
$ \lt p \gt $ 등비수열 ${a_{n}}$ 에 대하여 세 수 $a_2, [①] a_5 ,a_8$ 이 순서대로 등비수열을 이루고, 또한 세 $ \lt /p \gt $
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
$[①] a_5$
2점
$[②] a_5$
2점
$[③] 81($ 또는 $a_2a_8× a_3a_7)$
3점
$[④]$
9점
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학Ⅰ
삼각함수
모범 답안을 작성 중입니다. 수식을 점검해 주십시오.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
$k=1 3 \alpha=\pi 3 \beta+=3\pi 3 3$
1점
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학Ⅱ
다항함수의 미분법
$ \lt p \gt $ 곡선 $C$ 에 접하는 접선의 접점의 $x$ 좌표를 $t$ , 접선의 기울기를 $f(t)$ 라 하면 $f(t)=4t^3-15t^2-18t+2$ 이때 $f′(t)=12t^2-30t-18=0$ 에서 $t=3$ 일 때 $f(t)$ 는 최솟값 $-79$ 을 갖는다. 즉, 기울기가 최소인 접선의 접점은 점 $(3,-132)$ 이고 기울기는 $-79$ 이므로 접선의 방정식 은 $y+132=-79(x-3) \lt /p \gt $
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
$[①]$
3점
$[②] -79$
2점
$[③] 3,-132$
2점
$[④] -79x+105$
3점
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학Ⅰ
지수함수와 로그함수
1) 집합 $A$의 조건을 만족하는 정수 $x$의 범위를 구합니다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
지수부등식 $x^2-6x+3 \lt 0$의 해를 구하여 정수 집합 $A = \{1,2,3,4,5\}$ 도출
4점
집합 $B$의 모든 원소의 곱을 나타내고 지수의 합 $-25+5k = 0$ 관계식 수립
4점
상수 $k=5$ 최종 도출
2점
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학Ⅱ
다항함수의 미분법
$ \lt p \gt $ 조건 $ ($ 가)로부터 $ f(1)=0$ . 조건 $ ($ 나)에서 $ 0\le |f(0)|\le |0g(0)|=0$ 이므로 $f(0)=0$ . 따라서 $f(x)=x(x-1)(x^2+ax+b)$ 로 놓을 수 있다. (가)에서 $4=\lim x \to 1\frac{f(x)=\lim }{x-1} x \to 1 x(x^2+ax+b)=1+a+b \lt /p \gt $
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
$(f(x)=x(x-1)(x^2+ax+b)$ 로 놓았을 때 $) a+b=3 2 f′(0)=-b ($ 또는 $-4\le f′(0)\le 4) 4 f(2)$ 의 최솟값은 12 2 f(2)의 최댓값은 28
2점
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학Ⅱ
다항함수의 미분법
$ \lt p \gt g(x)=f(x)+2f′(x)$ 에서 $f(0)=g(0)=0$ 이므로 $f′(0)=0$ 이다. 그러므로 $f(x)=x^3+ax^2 (a$ 는 상수)로 놓을 수 있다. 이때 $g(x)=x^3+ax^2+6x^2+4ax=x(x^2+(a+6)x+4a)$ 이차방정식 $x^2+(a+6)x+4a=0$ 의 판별식 $D=(a+6)^2-16a=(a-2)^2+32 \gt 0$ 이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다. $x\ge k$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 $g(x)\ge 0$ 을 만족시키는 실수 k의 최솟값이 0인 조건을 만족시키려면 이차방정식의 두 실근을 $\alpha,\beta$ 라 할 때 $\alpha+\beta \lt 0,\alpha\beta \gt 0$ 이어야 한다. 즉, $a+6 \gt 0,4a \gt 0$ 이어야하므로 $a \gt 0$ 이다. 모든 항의 계수가 정수이므로 $a\ge 1$ 이어야 한다. 따라서 $f(2)=8+4a\ge 12$ 이므로 최솟값은 12이다. $ \lt /p \gt $
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
$f(x)=x^3+ax^2(a$ 는 상수 $) 3 g(x)=x^3+ax^2+6x^2+4ax=x(x^2+(a+6)x+4a) 1 a\ge 1 4$ 최솟값은 12
2점
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학Ⅱ
다항함수의 적분법
$ \lt p \gt $ 최고차항 계수가 1인 이차함수 $f(x)=x^2+ax+b$ 라 하자. $g(0)=f(0)+1=-1$ 따라서 $f(x)=x^2+ax-2 g(x)=\int_{0}^{x} f′(t)dt+(x^2+x+1)f(x)+1$ 의 양변을 $x$ 에 대해 미분하면 $g′(x)=f′(x)+(2x+1)f(x)+(x^2+x+1)f’(x). g′(0)=0$ 이므로, $f′(0)=1$ 따라서 $f(x)=x^2+x-2 \lt /p \gt $
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
$f(0)=-2 ($ 또는 $f(x)=x^2+ax-2$ , 또는 $f(x)=x^2+ax+b$ 의 상수항 $b=-2) 3 f′(0)=1 ($ 또는 $f(x)=x^2+x-2$ , 또는 $a=1) 4 g(1)=3$
3점
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학Ⅱ
함수의 극한과 연속
조건 (나)로부터 $f(x) - x^2$ 은 최고차항의 계수가 $b$ 인 일차식 이하이어야 하므로, 다항함수 $f(x)$ 는 이차 이하의 다항함수이다. 즉, $f(x) = cx^2 + dx + e$ ($c, d, e$ 는 상수)로 놓을 수 있다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
조건 (나)를 이용하여 $f(x)$가 이차함수이고 최고차항 계수가 $1$임을 확인하여 $f(x) = x^2 + e$ 형태 식 세우기
3점
조건 (가) 및 (나)를 종합하여 $b = 0$ 및 $f(x) = x^2 - a^2$ 도출하기
3점
조건 (다)를 만족하는 $k = 1$임을 찾고 $a = \frac{1}{2}$ 또는 $a = -\frac{1}{2}$ 구하기
2점
최종 순서쌍 $(a, b) = (\frac{1}{2}, 0), (-\frac{1}{2}, 0)$ 모두 정확히 제시하기
2점
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학Ⅱ
다항함수의 미분법
$ f(x) = -x^3 + 3x^2 + 9x + a $에서 $ f'(x) = -3x^2 + 6x + 9 = -3(x-3)(x+1) $이며, 닫힌구간 $[-1, 6]$에서 최솟값은 $ f(-1) = 1 + 3 - 9 + a = -5 + a $와 $ f(6) = -216 + 3 \times 36 + 54 + a = -54 + a $ 중에 $ f(6) = -54 + a = -40 $이므로,
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
함수 미분하기 및 도함수 조건 설정
3점
접선의 방정식 또는 극값 조건을 만족하는 미지수 계산
3점
최종 함숫값 및 기하학적 넓이 계산
4점
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학Ⅰ
삼각함수
주어진 방정식 $ \sin \theta \tan \theta = -\frac{8}{3} $에서 $ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} $이므로,
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
삼각함수의 성질 및 항등식 적용하기
3점
삼각방정식 풀이 및 미지수 조건 분석
3점
최종 각도 또는 삼각비의 값 도출
4점
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학Ⅰ
수열
등차수열 $ \{a_n\} $의 첫째항이 $ a $, 공차가 $ 2a $이므로 일반항은 $ a_n = a + (n-1)2a = (2n-1)a $이다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
수열의 일반항 식 세우기 및 초기 조건 도출
3점
수열의 합 또는 점화식의 규칙성 추론
3점
최종 항 또는 합의 값 도출
4점
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학Ⅱ
다항함수의 미분법
$ y = f(x) $의 그래프가 $ x $축과 서로 다른 두 점에서 만나려면 $ f(x) = 0 $은 중근과 다른 한 실근을 가져야 한다. 즉, 어떤 상수 $ b, c $에 대하여 $ f(x) = (x-b)^2(x-c) $ ($ b \
e c $)로 놓을 수 있다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
함수 미분하기 및 도함수 조건 설정
3점
접선의 방정식 또는 극값 조건을 만족하는 미지수 계산
3점
최종 함숫값 및 기하학적 넓이 계산
4점
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학Ⅰ
지수함수와 로그함수
조건 (가)의 방정식 $ 2a^2 - 9a + 4 = 0 $을 인수분해하면 $ (2a-1)(a-4) = 0 $이므로 $ a = \frac{1}{2} $ 또는 $ a = 4 $이다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
지수/로그의 밑 조건 및 방정식/부등식 조건 분석
3점
밑 변환 및 로그 성질을 이용한 식 전개
3점
연립 방정식 해 구하기 및 최종 결론
4점
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학Ⅰ
수열
이차방정식 $ ax^2 - 2bx + c = 0 $이 $ x=3 $에서 중근을 가지므로, 주어진 식은 $ a(x-3)^2 = 0 $과 같다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
수열의 일반항 식 세우기 및 초기 조건 도출
3점
수열의 합 또는 점화식의 규칙성 추론
3점
최종 항 또는 합의 값 도출
4점
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학Ⅱ
함수의 극한과 연속
조건 (나)에서 $ $\lim_{x \to a} \left\{ \frac{2}{f(x)} - \frac{5}{(x-a)^2} \right\} = \lim_{x \to a} \frac{2(x-a)^2 - 5f(x)}{(x-a)^2 f(x)} = 5 $$
\begin{aligned}
가 성립해야 하므로, 극한값이 존재하기 위해서는 $ f(x) $가 $ (x-a)^2 $을 인수로 가져야 한다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
제시문의 조건에 맞는 식 세우기 및 상황 분석
3점
조건을 만족하는 미지수 구하기 및 유도 과정
3점
정답 계산 및 최종 답안 서술
4점
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학Ⅰ
삼각함수
삼각형 $ ABC $와 삼각형 $ ABD $가 동일한 원에 내접하므로 사인법칙에 의해 $ \frac{BC}{\sin 30^\\circ} = \frac{BD}{\sin 60^\\circ} $가 성립하며, $ BD = 6 $이므로 $ BC = \frac{6}{\sqrt{3}/2} \times \frac{1}{2} = 2\sqrt{3} $이다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
삼각함수의 성질 및 항등식 적용하기
3점
삼각방정식 풀이 및 미지수 조건 분석
3점
최종 각도 또는 삼각비의 값 도출
4점
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학Ⅱ
다항함수의 적분법
함수 $f(x)$가 $x=1$에서 연속이므로,
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
피적분함수 설정 및 정적분 식 세우기
3점
치환/부분적분 또는 기본 정적분 계산 과정
3점
최종 넓이 또는 적분값 도출
4점
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학Ⅱ
극한
$x \lt 1$일 때 $f(x) = x - \frac{x}{1+x} = \frac{x^2}{1+x}$, $x \gt 1$일 때 $f(x) = 1 - \frac{x}{1+x} = \frac{1}{1+x}$. $f(1) = \frac{1}{2}$이므로
\end{aligned}
$$\lim_{x \to 1-} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = $$\lim_{x \to 1-} \frac{\frac{x^2}{1+x} - \frac{1}{2}}{x-1} = $$\lim_{x \to 1-} \frac{(2x+1)(x-1)}{2(1+x)(x-1)} = $\frac{3}{4}$, $$\lim_{x \to 1+} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = $$\lim_{x \to 1+} \frac{\frac{1}{1+x} - \frac{1}{2}}{x-1} = $$
\begin{aligned}
\lim_{x \to 1+} \frac{1-x}{2(1+x)(x-1)} = -$\frac{1}{4}$
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
$f(x) = \frac{x^2}{1+x}$ 또는 $f(x) = x - \frac{x}{1+x}$
2점
$f(x) = \frac{1}{1+x}$ 또는 $f(x) = 1 - \frac{x}{1+x}$
2점
\end{aligned}
$$\lim_{x \to 1^-} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = $\frac{3}{4}$
3점
$$
\begin{aligned}
\lim_{x \to 1^+} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = -$\frac{1}{4}$
3점
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학Ⅱ
미분
접선의 기울기를 $m$이라 하면 점 $\left(\frac{1}{2a}, 0\right)$을 지나는 접선의 방정식은 $y = m\left(x - \frac{1}{2a}\right)$이다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
접선의 방정식은 $y - ak^2 = 2ak(x - k)$ 또는 $y = 2akx - ak^2$
4점
$ak = 1$ 또는 $k = \frac{1}{a}$
4점
접선의 기울기는 $2$
2점
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학Ⅱ
지수와 지수방정식
$f(x) = 3^{|x|} + a$의 그래프는 $x=0$에서 최솟값 $1+a$를 갖는다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
$2^{f(x)} = t$, $t^2 - 10t + 24 = 0$, $t = 4, 6$
3점
$f(x) = 3^{|x|} + a$ 는 $x = 0$에서 최솟값 $1 + a$를 갖는다.
2점
오직 하나의 실근을 갖기 위해서는 $2^{f(x)}$의 최솟값이 $6$만 가능하다.
3점
$2^{1+a} = 6$ 즉, $a$의 값은 $\log_2 6 - 1$ 또는 $\log_2 3$
2점
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학Ⅱ
삼각함수의 정의
$3\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} + \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \times \frac{b}{a} = 3$, $\frac{3a+b}{\sqrt{a^2+b^2}} = 3$, $(3a+b)^2 = 9(a^2+b^2)$ $9a^2+6ab+b^2 = 9a^2+9b^2$, $6ab = 8b^2$, $\therefore \frac{a}{b} = \frac{4}{3}$
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
$3\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} + \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \times \frac{b}{a} = 3$ 또는 $3\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} = 3$
3점
$(3a+b)^2 = 9(a^2+b^2)$ 또는 $9a^2+6ab+b^2 = 9a^2+9b^2$
2점
$\therefore \frac{a}{b} = \frac{4}{3}$
5점
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학Ⅱ
수열의 합과 일반항과의 관계
$a_n = S_n - S_{n-1} = \frac{1}{9} \left\{ n^2(n+2)^2 - (n-1)^2(n+1)^2 \right\}$ $= \frac{1}{9} ( n^4 + 4n^3 + 4n^2 - n^4 + 2n^2 - 1 ) = \frac{1}{9} ( 4n^3 + 6n^2 - 1 )$ $\therefore a_1 = S_1 = 1$ $\therefore a_{100} = \frac{1}{9} ( 4000000 + 60000 - 1 ) = 451111$ $\therefore a_1 + a_{100} = 451112$
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
$a_1 = S_1 = 1$
3점
$a_{100} = 451111$
6점
$a_1 + a_{100} = 451112$
1점
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학Ⅱ
극한
\end{aligned}
$$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-x^3}{x^2} = -9$$이므로 $f(x) = x^3 - 9x^2 + ax + b$이다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
$f(x) = x^3 - 9x^2 + ax + b$
3점
$b = 0$, 또는 상수항은 $0$
2점
$a = 14$, 또는 일차항의 계수는 $14$
3점
$$\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = -10$$.
2점
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학Ⅱ
지수와 로그
$0 \lt |a+1| \lt 1$일 때, 함수 $f(x) = \log_{|a+1|} x$는 감소 함수 따라서, $f(x) = \log_{|a+1|} x$는 $x = \frac{1}{9}$에서 최댓값 2를 갖는다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
$0 \lt |a+1| \lt 1$일 때, $f(x) = \log_{|a+1|} x$는 $x = \frac{1}{9}$에서 최댓값 $2$를 갖는다.
2점
$\therefore |a+1| = \frac{1}{3}, \Rightarrow a = -\frac{2}{3}, -\frac{4}{3}$
3점
$1 \lt |a+1|$일 때, $f(x) = \log_{|a+1|} x$는 $x = 16$에서 최댓값 $2$를 갖는다.
2점
$\therefore |a+1| = 4, \Rightarrow a = 3, -5$
3점
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학Ⅱ
적분
시각 $t(t \ge 0)$에서의 두 점 A, B의 위치는 각각 $s_1(t) = \int_0^t v_1(\tau) d\tau = \int_0^t (2\tau^3 - 12\tau^2 + 24\tau) d\tau = \frac{1}{2}t^4 - 4t^3 + 12t^2$, $s_2(t) = \int_0^t v_2(\tau) d\tau = \int_0^t \left(\frac{3}{2}\tau^2 + 9a\right) d\tau = \frac{1}{2}t^3 + 9at$이다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
두 점 $A, B$의 위치는 각각
3점
출발 후 두 점이 만나는 횟수는 $\frac{1}{18}t^3 - \frac{1}{2}t^2 + \frac{4}{3}t = a$ 의 실근의 개수와 같
2점
$t=2, 4$에서 직선 $y=a$와의 교점이 2개이다.
3점
$f(2) = \frac{10}{9}$, $f(4) = \frac{8}{9}$
2점
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
수학Ⅱ
적분
곡선 $y = -x^2+6x-9 = -(x-3)^2$ 위의 점 $(a, f(a))$ ($0 < a < 3$)에서의 접선의 방정식은 $f'(x) = -2x+6$ 이므로 $y = -2(a-3)(x-a) - (a-3)^2$ 이다.
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
접선의 방정식은 $y = -2(a-3)(x-a)-(a-3)^2$ 또는 $y = (-2a+6)x+a^2-9$
2
부분의 넓이 $S = \frac{1}{4}a^3+\frac{3}{4}a^2-\frac{9}{4}a+\frac{9}{4}$이다.
6
넓이 $S$의 ($0 < a < 3$)에서의 최솟값: $a=1$에서 $S=1$
2
© QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr
✕
Questio Official Store
💳 2027 수리/약술논술 교재 결제 및 수강권 선택
원하시는 구매 수단 및 이용권을 선택하시면 동적 구매코드가 즉시 발급됩니다.
단품 패키지
🎯 대학/유형별 단건구매
선택한 1개 대학/유형 5개년 최신 기출 문제집 + 해설집 풀 세트 언락
9,900 원
✓ 목표 대학 1개 개별 언락
✓ 5개년 기출 + 정밀 채점기준표
✓ 결제 즉시 1년간 무제한 열람
🎯 9,900원 단건 결제 ➔
BEST ALL-PASS
🚀 학생용 ALL-PASS 프리패스
전 전체 대학/전 유형 5개년 기출 문제집 & 해설집 무제한 풀 언락
49,900 원
✓ 15+전 전체 대학 & 유형 풀 언락
✓ 2027 신규 업데이트 교재 전체 포함
✓ 압도적 가성비 (전체 무제한 열람)
🚀 49,900원 프리패스 결제 ➔
전자상거래법 제17조 준수 | 토스페이먼츠 보안결제 시스템 적용 | 문의: 070-8018-8866