2027학년도 대비 자연 D형

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수학Ⅰ 삼각함수의 그래프

💡 상세해설 및 모범답안

1) $f(x)=a\sin\frac{x}{3b}+c$의 주기는 $\frac{2\pi}{\left|\frac{1}{3b}\right|} = 6b\pi$ 입니다 (단, $b \gt 0$). 주기가 $6\pi$ 이므로,
$6b\pi=6\pi \implies b=1$ 입니다.
2) $f(x)=a\sin\frac{x}{3}+c$의 최솟값은 $-|a|+c$ 입니다 (단, $a \gt 0$). 최솟값이 $-2$ 이므로,
$-a+c=-2 \quad \cdots\text{ (1)}$ 입니다.
3) $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = a\sin\frac{\pi}{6}+c = \frac{1}{2}a+c = \frac{3}{2} \quad \cdots\text{ (2)}$ 입니다.
4) (1)과 (2)를 연립하여 값을 구합니다.
(2)에서 (1)을 변변 빼주면: $\frac{3}{2}a = \frac{7}{2} \implies a=\frac{7}{3}$ 이를 (1)에 대입하면: $-\frac{7}{3}+c=-2 \implies c=\frac{1}{3}$ 입니다.
5) 따라서 구하고자 하는 곱은: $a\times b\times c = \frac{7}{3}\times 1\times \frac{1}{3} = \frac{7}{9}$ 입니다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
$b=1$ 도출	3점
$a=\frac{7}{3}$ 도출	3점
$c=\frac{1}{3}$ 도출	3점
$abc=\frac{7}{9}$ 최종 도출	1점

수학Ⅰ, 수학Ⅱ 로그함수의 활용, 미분법

💡 상세해설 및 모범답안

1) 조건 (나)에서 $f(x)-g'(x)=1$ 입니다.
$a(x+1) - 2b(x+c) = (a-2b)x + (a-2bc) = 1$ 이 모든 실수 $x$에 대해 성립해야 하므로,
$a-2b=0 \implies a=2b \quad \cdots\text{ (1)}$ 이고, $a-2bc=1 \quad \cdots\text{ (2)}$ 입니다.
2) 조건 (가)에서 $\{f(x)\}^2-4g(x)=4x+3$ 에 $a=2b$를 대입합니다.
$4b^2(x+1)^2 - 4b(x+c)^2 = 4x+3$ $x^2$의 계수를 비교하면 $4b^2-4b=0$ 인데, $b eq 0$ (이차함수이므로) 이므로 $b=1$ 입니다.
$b=1$을 대입하면 $a=2$ 이고, (2)에서 $2-2c=1 \implies c=\frac{1}{2}$ 입니다.
따라서 $f(x)=2x+2$ 이고 $g(x)=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2 = x^2+x+\frac{1}{4}$ 입니다.
3) 두 함수 $y=\log_2 f(x)$ 와 $y=\log_2\sqrt{g(x)}$ 의 진수 조건을 구합니다.
- $f(x) \gt 0 \implies 2x+2 \gt 0 \implies x \gt -1$ - $g(x) \gt 0 \implies \left(x+\frac{1}{2}\right)^2 \gt 0 \implies x eq -\frac{1}{2}$ 따라서 공통 진수 조건 범위는 $x \gt -1$ 이고 $x eq -\frac{1}{2}$ 입니다.
4) 두 함수의 교점 방정식 $\log_2 f(x) = \log_2\sqrt{g(x)}$ 를 풉니다.
$f(x) = \sqrt{g(x)} \implies 2x+2 = \sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2} = \left|x+\frac{1}{2}\right|$ - $x \gt -\frac{1}{2}$ 일 때: $2x+2 = x+\frac{1}{2} \implies x = -\frac{3}{2}$ 이나 이는 범위에 맞지 않아 모순입니다.
- $-1 \lt x \lt -\frac{1}{2}$ 일 때: $2x+2 = -\left(x+\frac{1}{2}\right) \implies 3x = -\frac{5}{2} \implies x = -\frac{5}{6}$ 이며 범위에 적합합니다.
따라서 만나는 점의 $x$좌표는 $x = -\frac{5}{6}$ 입니다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
$f(x)=2x+2$ (또는 $a=2$) 구함	2점
$g(x)=x^2+x+\frac{1}{4}$ (또는 $b=1, c=\frac{1}{2}$) 구함	2점
진수 조건 범위를 고려하여 두 곡선의 교점의 $x$좌표 $x=-\frac{5}{6}$ 도출	6점

수학Ⅰ 지수법칙, 로그의 정의, 등비수열

💡 상세해설 및 모범답안

1) 등비수열 $\{a_n\}$의 첫째항 $a_1=a=\sqrt{3}=3^{\frac{1}{2}}$ 이고 공비를 $r$이라 둡시다.
일반항 $a_n = a r^{n-1}$ 을 대입하여 분수 식을 정리하면: $\frac{a_5 a_7}{a_4 a_6 a_8} = \frac{(ar^4)(ar^6)}{(ar^3)(ar^5)(ar^7)} = \frac{a^2 r^{10}}{a^3 r^{15}} = \frac{1}{ar^5}$ 입니다.
2) 주어진 로그 방정식에 대입합니다.
$\log_3\left(\frac{1}{ar^5}\right) = 9 \implies \log_3(a r^5)^{-1} = 9 \implies -\log_3 a - 5\log_3 r = 9$ $a = 3^{\frac{1}{2}}$ 이므로 $-\frac{1}{2} - 5\log_3 r = 9 \implies -5\log_3 r = \frac{19}{2} \implies \log_3 r = -\frac{19}{10}$ 입니다.
따라서 공비는 $r=3^{-\frac{19}{10}}$ 입니다.
3) $a_m = \frac{1}{3^9} = 3^{-9}$ 을 만족하는 $m$을 구합니다.
$a_m = a r^{m-1} = 3^{\frac{1}{2}} \times \left(3^{-\frac{19}{10}}\right)^{m-1} = 3^{\frac{1}{2}-\frac{19}{10}(m-1)} = 3^{-9}$ 지수를 비교하면: $\frac{1}{2} - \frac{19}{10}(m-1) = -9 \implies -\frac{19}{10}(m-1) = -\frac{19}{2}$ $m-1 = 5 \implies m=6$ 입니다.
따라서 자연수 $m=6$, 공비 $r = 3^{-\frac{19}{10}}$ 입니다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
식을 정리하여 $\frac{a_5 a_7}{a_4 a_6 a_8} = \frac{1}{ar^5}$ 유도	3점
공비 $r=3^{-\frac{19}{10}}$ 도출	3점
$m=6$ 도출	4점

수학Ⅱ 함수의 극한, 두 곡선으로 둘러싸인 넓이

💡 상세해설 및 모범답안

1) 곡선 $y=\sqrt{x}$와 직선 $y=x$의 원점이 아닌 교점 $A$는 $\sqrt{x}=x \implies x^2-x=0 \implies A(1,1)$ 입니다.
세 점 $O(0,0), A(1,1), B(t, \sqrt{t})$로 둘러싸인 삼각형 $OAB$의 넓이 $T(t)$는 사선 공식에 의해: $T(t) = \frac{1}{2}|1\cdot\sqrt{t} - 1\cdot t| = \frac{1}{2}(\sqrt{t}-t)$ (단, $0 \lt t \lt 1$ 이므로 $\sqrt{t} \gt t$입니다.
) 2) 곡선 $y=x^2$과 $x$축 및 $x=t, x=1$로 둘러싸인 영역의 넓이 $S(t)$는 정적분으로 계산합니다.
$S(t) = \int_t^1 x^2 dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_t^1 = \frac{1}{3}(1-t^3)$ 입니다.
3) 구하고자 하는 극한값을 계산합니다.
$\lim_{t \to 1-} \frac{S(t)}{T(t)} = \lim_{t \to 1-} \frac{\frac{1}{3}(1-t^3)}{\frac{1}{2}(\sqrt{t}-t)} = \frac{2}{3} \lim_{t \to 1-} \frac{1-t^3}{\sqrt{t}(1-\sqrt{t})}$ 입니다.
분자의 $1-t^3$을 인수분해하면 $1-t^3 = (1-t)(1+t+t^2) = (1-\sqrt{t})(1+\sqrt{t})(1+t+t^2)$ 이므로: $\lim_{t \to 1-} \frac{(1-\sqrt{t})(1+\sqrt{t})(1+t+t^2)}{\sqrt{t}(1-\sqrt{t})} = \lim_{t \to 1-} \frac{(1+\sqrt{t})(1+t+t^2)}{\sqrt{t}}$ $= \frac{(1+1)(1+1+1)}{1} = 2 \times 3 = 6$ 입니다.
따라서 최종 극한값은: $\frac{2}{3} \times 6 = 4$ 입니다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
$T(t) = \frac{1}{2}(\sqrt{t}-t)$ 도출	4점
$S(t) = \frac{1}{3}(1-t^3)$ 도출	3점
극한값 $\lim_{t \to 1-} \frac{S(t)}{T(t)} = 4$ 도출	3점

수학Ⅱ 함수의 극한, 미분

💡 상세해설 및 모범답안

1) 사차함수 $f(x) = \frac{5}{16}x^4 - \frac{5}{2}x^2 + 4$의 극값을 구하기 위해 도함수를 구합니다.
$f'(x) = \frac{5}{4}x^3 - 5x = \frac{5}{4}x(x-2)(x+2)$ $f'(x)=0$의 실근은 $x=-2, 0, 2$ 입니다.
- 극댓값: $f(0) = 4$ - 극솟값: $f(-2) = f(2) = \frac{5}{16}(16) - \frac{5}{2}(4) + 4 = 5 - 10 + 4 = -1$ 2) 함수 $y=|f(x)|$의 그래프는 $y=f(x)$ 그래프 중 $y \lt 0$인 부분을 위로 접어 올린 것이므로,
접어 올라간 극솟값의 위치는 $y=1$이 되고, 극댓값은 $y=4$가 됩니다.
방정식 $|f(x)|=t$의 실근의 개수 $g(t)$는 함수 $y=|f(x)|$의 그래프와 직선 $y=t$의 교점의 개수와 같습니다.
직선 $y=t$의 위치에 따른 교점의 개수 $g(t)$를 분석하면: - $t \gt 4$ 일 때, $g(t) = 2$ - $t = 4$ 일 때, $g(t) = 3$ - $1 \lt t \lt 4$ 일 때, $g(t) = 4$ - $t = 1$ 일 때, $g(t) = 6$ (접어 올려진 극솟점 $x = \pm 2$에서 접점 2개와 그 사이/바깥의 교점 4개) - $0 \lt t \lt 1$ 일 때, $g(t) = 8$ - $t = 0$ 일 때, $g(t) = 4$ 3) 각각의 우극한, 좌극한, 함숫값을 구합니다.
- $\lim_{t \to 1+} g(t) = 4$ - $\lim_{t \to 1-} g(t) = 8$ - $g(1) = 6$ 따라서 구하고자 하는 값은 $4 + 8 + 6 = 18$ 입니다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
$\lim_{t \to 1+} g(t) = 4$ 도출	3점
$\lim_{t \to 1-} g(t) = 8$ 도출	3점
$g(1) = 6$ 도출	3점
합 $18$ 최종 도출	1점

수학Ⅱ 함수의 극한의 대소관계, 정적분, 극값

💡 상세해설 및 모범답안

1) 조건 (가), (나)의 변수를 치환하여 $f(t)$에 관한 범위를 설정합니다.
- 조건 (가)에서 $t = \frac{x-1}{6}$ 이라 하면,
$x = 6t+1$ 이므로 $t \ge 0$ 일 때: $(6t+1)^2 \lt f(t) \implies 36t^2 + 12t + 1 \lt f(t)$ 입니다.
- 조건 (나)에서 $t = \frac{x-2}{6}$ 이라 하면,
$x = 6t+2$ 이므로 $t \ge 0$ 일 때: $f(t) \lt (6t+2)^2 \implies f(t) \lt 36t^2 + 24t + 4$ 입니다.
따라서 $t \ge 0$ 인 모든 실수 $t$에 대하여 다음
부등식이 성립합니다.
$36t^2 + 12t + 1 \lt f(t) \lt 36t^2 + 24t + 4$ 2) 각 변을 $t^2$ ($t \gt 0$)으로 나누고 $t \to \infty$ 극한을 취하면 샌드위치 정리에 의해: $\lim_{t \to \infty} \frac{f(t)}{t^2} = 36$ 임을 알 수 있습니다.
$f(x)$는 다항함수이므로 $f(x) = 36x^2 + ax + b$ ($a, b$는 정수)로 둘 수 있습니다.
$t=0$을 대입하면 $1 \lt f(0) \lt 4 \implies 1 \lt b \lt 4$ 이므로,
정수 $b$는 $b=2$ 또는 $b=3$ 입니다.
3) 조건 (다)에서 $g(x) = \int_0^x f(t)dt$가 $x=-\frac{1}{3}$에서 극값을 가지므로,
미적분학의 기본정리에 의해: $g'\left(-\frac{1}{3}\right) = f\left(-\frac{1}{3}\right) = 0$ 입니다.
$f\left(-\frac{1}{3}\right) = 36\left(-\frac{1}{3}\right)^2 + a\left(-\frac{1}{3}\right) + b = 4 - \frac{a}{3} + b = 0 \implies a = 3b + 12$ 입니다.
4) $b$의 각 값에 따른 정수 $a$와 $f(-1)$의 값을 구합니다.
- $b=2$ 일 때: $a=18 \implies f(x) = 36x^2 + 18x + 2$ 이므로,
$f(-1) = 36-18+2 = 20$ - $b=3$ 일 때: $a=21 \implies f(x) = 36x^2 + 21x + 3$ 이므로,
$f(-1) = 36-21+3 = 18$ 따라서 다항함수 $f(x)$의 계수가 모두 정수인 조건 하에서 $f(-1)$의 최솟값은 $18$입니다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
극한의 대소관계 및 샌드위치 정리로부터 최고차항 계수가 $36$인 이차함수 $f(x)=36x^2+ax+b$ 도출	2점
$t=0$의 함숫값 범위를 만족하는 정수 $b=2$ 또는 $b=3$ 결정	4점
극값 조건에서 정수 계수를 완성하고, $f(-1)$의 최솟값 $18$ 도출	4점

수학Ⅱ 함수의 극한, 접선의 방정식, 정적분, 두 곡선으로 둘러싸인 넓이

💡 상세해설 및 모범답안

1) $x \ge 0$에서 $f(x)=ax(x-2)$의 최솟값은 $x=1$에서 $f(1)=-a$ 이며, $x \lt 0$에서 $f(x)=x^3$은 음
의 실수 전체를 치역으로 갖습니다.
$f(x)=f(t)$의 교점 개수인 $g(t)$는 $y=f(t)$의 높이에 따라 변합니다.
높이가 $-a$가 되게 하는 $x$좌표는 $x=-\sqrt[3]{a}$ 와 $x=1$ 이며, 높이가 $0$이 되게 하는 $x$좌표는 $x=0, 2$ 입니다.
각 $t$의 위치에 따른 실근의 개수 $g(t)$를 분석하면: - $t \lt -\sqrt[3]{a}$ 일 때, $f(t) \lt -a \implies g(t) = 1$ - $t = -\sqrt[3]{a}$ 일 때, $f(t) = -a \implies g(t) = 2$ - $-\sqrt[3]{a} \lt t \lt 0$ 일 때, $-a \lt f(t) \lt 0 \implies g(t) = 3$ - $t = 0$ 일 때, $f(t) = 0 \implies g(t) = 2$ - $0 \lt t \lt 1$ 일 때, $-a \lt f(t) \lt 0 \implies g(t) = 3$ - $t = 1$ 일 때, $f(t) = -a \implies g(t) = 2$ - $1 \lt t \lt 2$ 일 때, $-a \lt f(t) \lt 0 \implies g(t) = 3$ - $t = 2$ 일 때, $f(t) = 0 \implies g(t) = 2$ - $t \gt 2$ 일 때, $f(t) \gt 0 \implies g(t) = 1$ 불연속점 $k$ 중 좌우극한의 차이가 2인 지점은 $k=-\sqrt[3]{a}$ 와 $k=2$ 뿐입니다.
따라서 모든 $k$의 합 $-\sqrt[3]{a}+2=1 \implies \sqrt[3]{a}=1 \implies a=1$ 입니다.
2) $a=1$ 이므로 $x \ge 0$에서 곡선은 $y=x^2-2x$ 입니다.
접점을 $C(c, c^2-2c)$ ($c \gt 0$)라 하면 접선의 기울기는 $2c-2$ 이므로 접선의 방정식은: $y - (c^2-2c) = (2c-2)(x-c) \implies y = (2c-2)x - c^2$ 입니다.
이 접선이 점 $(0, -9)$를 지나므로 $-c^2 = -9 \implies c = 3$ ($c \gt 0$) 입니다.
따라서 접선은 $y = h(x) = 4x-9$ 입니다.
3) 구하고자 하는 넓이는 곡선 $y=x^2-2x$와 $y$축($x=0$) 및 접선 $y=4x-9$로 둘러싸인 도형입니다.
교점(접점) $x=3$까지 적분하면: $A = \int_0^3 \{(x^2-2x) - (4x-9)\} dx = \int_0^3 (x^2-6x+9) dx = \left[ \frac{1}{3}(x-3)^3 \right]_0^3 = 0 - \left(-\frac{27}{3}\right) = 9$ 입니다.
따라서 구하는 부분의 넓이는 $9$입니다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
실근의 개수 $g(t)$를 분석하여 좌우극한 차이가 2인 불연속점이 $k=-\sqrt[3]{a}$와 $k=2$임을 밝힘	5점
$k$의 합 조건에서 $a=1$ 결정	1점
접선의 방정식 $y=h(x)=4x-9$ 도출	2점
정적분을 통해 두 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이 $9$ 도출	2점

수학Ⅰ 삼각함수

💡 상세해설 및 모범답안

1) 주어진 식의 각도 항을 각변환 공식을 이용해 통일합니다.
- $\cos^2\left(x+\frac{5\pi}{6}\right) = \cos^2\left(x+\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2}\right) = \sin^2\left(x+\frac{\pi}{3}\right) = 1 - \cos^2\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ - $\cos\left(x+\frac{4\pi}{3}\right) = \cos\left(x+\frac{\pi}{3} + \pi\right) = -\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ - $\sin\left(x+\frac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(x+\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ 이를 대입하여 정리하면: $1 - \cos^2\left(x+\frac{\pi}{3}\right) + a\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right) + a\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right) - 2a - 4 = 0$ $\cos^2\left(x+\frac{\pi}{3}\right) - 2a\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right) + (2a+3) = 0 \quad \cdots\text{ (ㄱ)}$ 입니다.
2) $t = \cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ 로 치환합니다.
$0 \le x \le \frac{4\pi}{3} \implies \frac{\pi}{3} \le x+\frac{\pi}{3} \le \frac{5\pi}{3}$ 이므로,
코사인 값의 범위는 $-1 \le t \le \frac{1}{2}$ 입니다.
이 범위 내에서 각 $t$에 대한 실근 $x$의 개수를 파악하면: - $t = -1$ 일 때, $x+\frac{\pi}{3} = \pi$ 이므로 $x$는 $1$개만 대응합니다.
- $-1 \lt t \le \frac{1}{2}$ 일 때, 코사인 곡선과의 교점이 2개 발생하므로 서로 다른 $x$가 $2$개 대응합니다.
- $t \gt \frac{1}{2}$ 일 때, 만족하는 실근 $x$는 존재하지 않습니다 (0개). 따라서 방정식 (ㄱ)이 서로 다른 2개의 실근 $x$를 가지려면 치환 방정식 $f(t) = t^2-2at+2a+3 = 0$ 이 $-1 \lt t \le \frac{1}{2}$ 에서 오직 하나의 실근을 가져야 합니다.
3) $f(t) = t^2-2at+2a+3 = 0$ 이 범위 내에서 하나의 실근을 갖도록 하는 정수 $a$를 구합니다.
- 경계값: $f(-1) = 4a+4$, $f\left(\frac{1}{2}\right) = a + \frac{13}{4}$ (i) 두 경계에서의 부호가 서로 다를 때: $f(-1)f\left(\frac{1}{2}\right) \lt 0 \implies (4a+4)\left(a+\frac{13}{4}\right) \lt 0 \implies -\frac{13}{4} \lt a \lt -1$ 이 범위 안의 정수 $a$는 $a = -3, a = -2$ 입니다.
(ii) 경계가 0인 경우: - $f\left(\frac{1}{2}\right) = 0 \implies a = -\frac{13}{4}$ (정수가 아님) - $f(-1) = 0 \implies a = -1$ 이면,
$f(t) = (t+1)^2 = 0 \implies t = -1$ (중근). 그러나 $t=-1$은 범위에서 제외되므로 조건을 만족하지 않습니다.
(iii) 축이 범위에 있고 판별식이 0인 경우: $D/4 = a^2 - (2a+3) = (a-3)(a+1) = 0 \implies a = 3$ 또는 $a = -1$ 두 경우 모두 대칭축이 범위 외부에 있거나 범위 밖에서 중근을 가지므로 해당 사항이 없습니다.
따라서 만족하는 정수 $a$는 $a = -3, a = -2$ 입니다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
각변환 공식을 활용해 삼각함수 식을 $\cos^2\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-2a\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+(2a+3)=0$ 으로 정리	4점
치환한 방정식 $t^2-2at+2a+3=0$이 $-1 \lt t\le\frac{1}{2}$에서 오직 하나의 실근을 가져야 실근 $x$의 개수가 2개임을 규명	3점
경계 조건을 분석하여 정수 $a = -3, a = -2$ 최종 도출	3점

수학Ⅱ 접선의 방정식, 극대값과 극솟값

💡 상세해설 및 모범답안

1) 조건 (나)에 의해 삼차함수 $f(x)$는 다음
과 같이 수립할 수 있습니다.
$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 14$ ($a, b$는 상수) 도함수는 $f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$ 입니다.
2) 조건 (가)에 의해 $x=2$에서의 접선이 $y=-4x+24$ 이므로: - $f'(2) = -4$ - 접점의 $y$좌표는 $f(2) = -4(2)+24 = 16$ 입니다.
이를 식에 대입하여 정리합니다.
- $f'(2) = 12 + 4a + b = -4 \implies 4a + b = -16 \quad \cdots\text{ (1)}$ - $f(2) = 8 + 4a + 2b + 14 = 22 + 4a + 2b = 16 \implies 4a + 2b = -6 \quad \cdots\text{ (2)}$ (2)에서 (1)을 빼주면: $b = 10$ 입니다.
이를 (1)에 대입하면: $4a + 10 = -16 \implies 4a = -26 \implies a = -\frac{13}{2}$ 입니다.
따라서 삼차함수는 $f(x) = x^3 - \frac{13}{2}x^2 + 10x + 14$ 이고, 도함수는 $f'(x) = 3x^2 - 13x + 10 = (3x-10)(x-1)$ 입니다.
3) $f'(x)=0$의 실근은 $x=1$과 $x=\frac{10}{3}$ 이며, 증감표를 고려하면 $x=1$에서 극대, $x=\frac{10}{3}$에서 극소입니다.
- 극댓값: $f(1) = 1 - \frac{13}{2} + 10 + 14 = 25 - \frac{13}{2} = \frac{37}{2}$ 입니다.
- 극솟값: $f\left(\frac{10}{3}\right) = \left(\frac{10}{3}\right)^3 - \frac{13}{2}\left(\frac{10}{3}\right)^2 + 10\left(\frac{10}{3}\right) + 14 = \frac{1000}{27} - \frac{650}{9} + \frac{100}{3} + 14$ $= \frac{1000 - 1950 + 900 + 378}{27} = \frac{328}{27}$ 입니다.
따라서 극댓값은 $\frac{37}{2}$ 이고, 극솟값은 $\frac{328}{27}$ 입니다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
조건을 만족시키는 함수 $f(x) = x^3 - \frac{13}{2}x^2 + 10x + 14$ (또는 도함수 $f'(x) = 3x^2-13x+10$) 도출	6점
극댓값 $\frac{37}{2}$ 도출	2점
극솟값 $\frac{328}{27}$ 도출	2점

수학 I 로그의 성질

💡 상세해설 및 모범답안

1) 주어진 방정식 $ \log_a b $ 에 대한 이차방정식을 정리합니다.
$ (\log_a b)^2 = 3\log_a b - 2 $ 이므로
$ (\log_a b)^2 - 3\log_a b + 2 = 0 $
2) 이차방정식을 인수분해하여 $ \log_a b $ 의 값을 구합니다.
$ (\log_a b - 1)(\log_a b - 2) = 0 $ 이므로 $ \log_a b = 1 $ 또는 $ \log_a b = 2 $ 입니다.
조건에서 $ a eq b $ 이므로 $ \log_a b eq 1 $ 입니다. 따라서 $ \log_a b = 2 $ 입니다.
3) 구하고자 하는 식의 값을 계산합니다.
$ \log_b a + \log_{\frac{1}{a}} b = \frac{1}{\log_a b} - \log_a b = \frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2} $ 입니다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
$ \log_a b = 2 $ (또는 $ \log_b a = \frac{1}{2} $) 도출	3점
$ \log_b a + \log_{\frac{1}{a}} b = -\frac{3}{2} $ 최종 도출	2점

수학 II 정적분

💡 상세해설 및 모범답안

1) 조건 (가)를 이용하여 $ f(x) $의 식을 세웁니다.
$ f(x) = x^2 + ax + b $ 라 하면, $ \int_0^1 f(x) dx = \frac{1}{3} + \frac{1}{2}a + b = \frac{1}{3} $ 이므로 $ b = -\frac{1}{2}a $ 입니다.
2) 조건 (나)의 극한식을 분석합니다.
$ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x(x^2+x+1)} \int_1^{x+1} f(t) dt = f(1) = 3 $ 입니다.
$ f(1) = 1 + a + b = 3 $ 이고, $ b = -\frac{1}{2}a $ 를 대입하면 $ 1 + \frac{1}{2}a = 3 \implies a = 4 $ 이고 $ b = -2 $ 입니다.
따라서 $ f(x) = x^2 + 4x - 2 $ 입니다.
3) $ f(a) + f(b) $ 의 값을 구합니다.
$ f(a) + f(b) = f(4) + f(-2) = (16 + 16 - 2) + (4 - 8 - 2) = 30 - 6 = 24 $ 입니다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
극한식을 통해 $ f(1) = 3 $ (또는 $ a+b = 2 $) 도출	5점
$ f(a) + f(b) = 24 $ 최종 도출	1점

수학 I 사인법칙과 코사인법칙

💡 상세해설 및 모범답안

1) 삼각형 ABC에서 주어진 조건을 활용하여 코사인 법칙을 적용합니다.
$ \cos C = \frac{BC^2 + CA^2 - AB^2}{2 \times BC \times CA} $ 식을 사인 법칙을 통해 변환하여 정리하면 $ \cos C = \frac{1}{3} $ 을 얻을 수 있습니다.
2) $ \sin C $ 와 외접원의 반지름 $ R $ 을 구합니다.
$ \sin C = \sqrt{1 - \cos^2 C} = \frac{2\sqrt{2}}{3} $ 입니다.
사인 법칙에 의해 $ 2R = \frac{c}{\sin C} $ 이므로, 이를 통해 외접원의 반지름 $ R $ 을 구하면 $ R = \frac{3\sqrt{6}}{4} $ (또는 $ R^2 = \frac{27}{8} $) 입니다.
3) 외접원의 넓이 $ S $ 를 계산합니다.
$ S = \pi R^2 = \frac{27}{8} \pi $ 입니다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
외접원의 반지름 $ R = \frac{3\sqrt{6}}{4} $ 도출	5점
외접원의 넓이 $ S = \frac{27}{8}\pi $ 최종 도출	3점

수학 I 수열의 합

💡 상세해설 및 모범답안

1) 삼각형 $ A_n B_n C_n $ 의 넓이와 둘레를 구합니다.
넓이 $ S_n = \frac{1}{2} \times 2n \times n = n^2 $ 입니다.
둘레의 길이 $ l_n = 2n + \sqrt{(2n)^2 + n^2} + \dots $ 직각이등변삼각형 등 기하적 조건에 의해 $ l_n = 2n + 2\sqrt{2}n = 2n(1+\sqrt{2}) $ 입니다.
2) $ S_n $ 과 $ l_n $ 의 합을 계산합니다.
$ \sum_{n=1}^{10} S_n = \sum_{n=1}^{10} n^2 = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 385 $ 입니다.
$ \sum_{n=1}^{10} l_n = (2+2\sqrt{2}) \sum_{n=1}^{10} n = (2+2\sqrt{2}) \times 55 = 110(1+\sqrt{2}) $ 입니다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
둘레의 길이 $ l_n = 2n(1+\sqrt{2}) $ 도출	2점
$ \sum_{n=1}^{10} l_n = 110(1+\sqrt{2}) $ 최종 도출	3점

수학 II 도함수의 활용

💡 상세해설 및 모범답안

1) 주어진 극한 조건을 통해 $ f(x) $ 를 설정합니다.
$ f(x) = \frac{1}{3}x^3 + bx^2 + 4x $ 입니다. (상수항은 극한 $ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 4 $ 에서 도출)
2) $ g(x) = f(x) + x^2 = \frac{1}{3}x^3 + (b+1)x^2 + 4x $ 가 $ x \gt 0 $ 에서 증가하기 위한 조건을 찾습니다.
$ g'(x) = x^2 + 2(b+1)x + 4 \ge 0 $
대칭축 $ x = -(b+1) $ 의 위치에 따라 분류합니다.
(i) $ b+1 \ge 0 $ (즉, $ b \ge -1 $) 인 경우: 대칭축이 0 이하이므로 $ x \gt 0 $ 에서 항상 만족합니다.
(ii) $ b+1 \lt 0 $ (즉, $ b \lt -1 $) 인 경우: 판별식 또는 최솟값 조건을 통해 $ -b^2-2b+3 \ge 0 $ 이므로 $ -3 \le b \le 1 $ 입니다. 범위와 교집합하면 $ -3 \le b \lt -1 $ 에서 만족합니다.
3) 두 경우를 종합하면 $ b \ge -3 $ 입니다.
방정식 $ f(x) = 0 $ 의 모든 근의 합은 $ -3b $ 이고, $ b \ge -3 $ 이므로 $ -3b \le 9 $ 입니다.
따라서 구하는 최댓값은 9입니다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
(i) $ b+1 \ge 0 $ 인 경우 만족 확인	3점
모든 근의 합의 최댓값 9 도출	1점

수학 II 도함수의 활용

💡 상세해설 및 모범답안

1) 집합 $ A $ 의 원소 조건을 정리합니다.
조건식을 정리하면 $ (f(x)-4)(f'(t)(x-t) + f(t) - 4) = 0 $ 입니다. 이는 $ f(x)=4 $ 이거나 접선이 $ y=4 $ 와 만나는 점의 $ x $ 좌표를 의미합니다.
2) $ f(x) = 4 $ 인 점을 찾습니다.
함수 $ f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 4x + 1 $ 의 그래프 개형 상 $ f(3) = 4 $ 이며, 이 점이 유일한 실근입니다.
3) 접선 조건을 분석합니다.
원소의 개수가 1이 되려면 접선이 $ x=3 $ 에서만 $ y=4 $ 와 만나거나, 접선 자체가 $ y=4 $ 와 평행해야 합니다.
(i) 접선이 $ x $ 축과 평행한 경우: $ f'(t) = -t^2+4 = 0 $ 이므로 $ t = \pm 2 $ 입니다.
(ii) 접선이 $ (3, 4) $ 를 지나는 경우: 접선의 방정식이 $ (3, 4) $ 를 지날 때 식을 풀면 $ t = 3 $ 또는 $ t = -\frac{3}{2} $ 가 됩니다.
따라서 가능한 모든 $ t $ 의 값은 $ \pm 2, 3, -\frac{3}{2} $ 입니다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
$ f(3)=4 $ (또는 $ (3,4) $) 확인	1점
접선이 $ (3,4) $를 지나는 경우 $ t=3, -\frac{3}{2} $ 도출	5점

수학 II 부정적분과 정적분

💡 상세해설 및 모범답안

1) 항등식을 양변 미분하여 $ f(x) $ 와 $ g(x) $ 를 구합니다.
조건을 통해 $ f(x) = x+4 $ 를 도출할 수 있습니다.
또한 적분 방정식을 미분하여 다항식을 계수비교하면 $ g(x) = x^2+x+2 $ 가 됩니다.
2) 구하고자 하는 정적분 식을 전개하고 약분합니다.
정적분 식 $ \int_0^{1/2} \left( \frac{x^2}{x+2} + \frac{f(x)}{x-2} + \frac{g(x)}{x^2-4} \right) dx $ 의 피적분함수를 통분하여 정리하면, 분자가 $ x^3-x^2-4x+4 $ 가 되어 분모 $ x^2-4 $ 로 나누어 떨어지고 $ x-1 $ 이 남습니다.
3) 최종적으로 정적분을 계산합니다.
$ \int_0^{1/2} (x-1) dx = \left[ \frac{1}{2}x^2 - x \right]_0^{1/2} = \frac{1}{8} - \frac{1}{2} = -\frac{3}{8} $ 입니다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
$ g(x) = x^2+x+2 $ 도출	5점
정적분 식을 정리하여 계산하고 $ -\frac{3}{8} $ 도출	5점

수학 I 삼각함수와 도형

💡 상세해설 및 모범답안

1) 직각삼각형 ABC에서 변의 길이를 구합니다.
선분 AB가 지름이므로 직각삼각형입니다. 피타고라스 정리에 의해 $ AB^2 = CA^2 + CB^2 = \frac{58}{7} + \frac{20}{7} = \frac{78}{7} $ 이므로 $ AB = \sqrt{\frac{78}{7}} $ 입니다.
2) 닮음을 이용하여 선분 $ PB $ 와 $ QB $ 의 길이를 구합니다.
$ CB^2 = PB \times AB $ 이므로 $ PB = \frac{20/7}{\sqrt{78/7}} $ 입니다.
동일한 방식으로 삼각형 닮음에 의해 $ QB = \frac{8/7}{\sqrt{78/7}} $ 임을 알 수 있습니다.
3) 구하고자 하는 비율을 계산합니다.
$ PQ = PB - QB = \frac{12/7}{\sqrt{78/7}} $ 입니다.
따라서 $ \frac{PQ}{AB} = \frac{12/7}{78/7} = \frac{12}{78} = \frac{2}{13} $ 입니다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
$ PB = \frac{20/7}{\sqrt{78/7}} $ 도출	3점
$ \frac{PQ}{AB} = \frac{2}{13} $ 최종 도출	5점

수학 I 등비수열

💡 상세해설 및 모범답안

1) 주어진 점화식을 이용하여 공비 $ r $ 을 구합니다.
$ a_n a_{n+1} a_{n+2} = 3^n $ 의 양변에 인덱스를 올린 식을 나누면, $ \frac{a_{n+3}}{a_n} = 3 $ 이 됩니다.
등비수열의 성질에 의해 $ r^3 = 3 $ 이므로 공비 $ r = \sqrt[3]{3} $ 입니다.
2) 첫째항 $ a_1 $ 을 구합니다.
$ n=1 $ 일 때, $ a_1 a_2 a_3 = a_1^3 r^3 = 3 $ 이므로 $ a_1^3 = 1 $ 입니다. 따라서 $ a_1 = 1 $ 입니다.
3) 등비수열의 합 $ S_{42} $ 를 구합니다.
$ S_{42} = \frac{a_1(r^{42}-1)}{r-1} = \frac{1 \cdot ( (3^{1/3})^{42} - 1 )}{\sqrt[3]{3} - 1} = \frac{3^{14}-1}{\sqrt[3]{3}-1} $ 입니다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
첫째항 $ a_1 = 1 $ 도출	3점
합 $ S_{42} = \frac{3^{14}-1}{\sqrt[3]{3}-1} $ 최종 도출	4점

수학Ⅰ 삼각함수

💡 상세해설 및 모범답안

$\tan\theta-\frac{\sqrt{3}}{\tan\theta} =\sqrt{3}-1$ 을 정리하면 $\tan^2\theta-(\sqrt{3}-1)\tan\theta-\sqrt{3}=0$ 이다.
따라서 $(\tan\theta+1)(\tan\theta-\sqrt{3})=0$ 이므로 $\tan\theta=-1$ 또는 $\tan\theta=\sqrt{3}$ 인데, $\pi<\theta<\frac{3}{2}\pi$ 이므로 $\tan\theta=\sqrt{3}$ 이다.
따라서 $\theta=\frac{4}{3}\pi$ 이고,
$2\cos \theta-4\sin \theta=2\left(-\frac{1}{2}\right)-4\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2\sqrt{3}-1$ 이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
주어진 조건식을 탄젠트에 대한 이차방정식 $\tan^2\theta-(\sqrt{3}-1)\tan\theta-\sqrt{3}=0$ 으로 정리하고 인수분해하여 $\tan\theta = \sqrt{3}$ 도출	3점
사분면 조건 $\pi < \theta < \frac{3}{2}\pi$을 고려하여 $\theta = \frac{4}{3}\pi$ 도출	3점
삼각함수 값 대입 및 최종 결과 $2\cos\theta - 4\sin\theta = 2\sqrt{3}-1$ 연산	4점

수학Ⅱ 다항함수의 미분법

💡 상세해설 및 모범답안

$ \lt p \gt y=x^2f(x)-3x$ 에서 $y′ =2xf(x)+x^2f′(x)-3$ 이고 점 (2,6)이 곡선 $y=x^2f(x)-3x$ 위의 점이므로 $f(2)=3$ . 곡선 $y=x^2f(x)-3x$ 위의 점 (2,6)에서의 접선의 기울기가 1이 므로 $2×2×f(2)+22×f′(2)-3=9+4f′(2)=1$ . 즉, $f′(2)=-2$ . 따라서 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 (2,f(2))에서의 접선의 방정식은 $y-f(2)=f′(2)×(x-2) y-3=-2(x-2)$ 즉, $y=-2x+7$ . 따라서 구하는 $y$ 절편은 7이다.
$ \lt /p \gt $

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
$f(2)=3 3 f′(2)=-2 3 y=-2x+7 2 7$	2점

수학Ⅰ 수열

💡 상세해설 및 모범답안

$ \lt p \gt a_1=1$ 이고 $a_2=a_1+1× -\sin ( / 2 \pi×1)=1+(-1)=0, a_3=a_2+2× -\sin ( / 2 \pi×2)=0+(0)=0, \lt /p \gt $

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
$[①] -2k+$	2점
$[②] 2k+$	1점
$[③]$	4점
$[④] 41$	2점

수학Ⅱ 함수의 극한과 연속

💡 상세해설 및 모범답안

$ \lt p \gt f(x)=\frac{ax+2=a+ / }{x-b} x-b ab+2$ 이고, $a=0$ 이면,
(가)를 만족하지 않는다.
또한, (가)에 $ \lt /p \gt $

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
$a \lt 0,b \gt 0$ 일 때 모든 조건을 만족한다. $3 b=-a 2 a=-\frac{9}{10} 2 f(a)=-\frac{281}{180}$	3점

수학Ⅱ 다항함수의 미분법

💡 상세해설 및 모범답안

$ \lt p \gt $ 조건 (가), (나)에 의하여 방정식 $f(x)=0$ 의 한 실근을 $4+a$ 라 하면 다른 한 실근은 $4-a$ 이므로 $f(x)=-(x-4)^2(x-4-a)(x-4+a) ($ 단, $a$ 는 양의 상수 $). f′(x)=-2(x-4)(x-4-a)(x-4+a)-(x-4)^2(x-4-a)-(x-4)^2(x-4+a) =-(x-4)(2(x-4)^2-2a_2+2(x-4)^2) =-2(x-4)(2(x-4)^2-a_2) f′(x)=0$ 에서 $x=4$ 또는 $x=4±\frac{a}{\sqrt / 2}$ 이므로 함수 $f(x)$ 는 $x=4±\frac{a}{\sqrt / 2}$ 에서 극댓값을 $ \lt /p \gt $

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
$f(x)=-(x-4)^2(x-4-a)(x-4+a) ($ 또는 $x-4=t$ 로 치환하면, $f(x)=f(t+4)=-t^2(t^2-a_2) 3 x=4±\frac{a}{\sqrt / 2} 3 a_2=6 2 -27$	2점

수학Ⅱ 다항함수의 적분법

💡 상세해설 및 모범답안

$ \lt p \gt f(-x)=-f(x)$ 이므로 원점 대칭이다.
즉, $f(0)=0 f(-x)=-f(x)$ 와 $f(x)=f(x-2)+4a$ 에 $x=1$ 대입하고 $f(1)=2a$ 이다.
곡선 $y=f(x-2)+4a$ 는 곡선 $y=f(x)$ 를 $x$ 축의 방향으로 2만큼, $y$ 축의 방향으로 4a만큼 평행이동한 곡선과 일 치한다.
따라서 $f(2)=f(0)+4a=4a, f(3)=f(1)+4a=6a, f(4)=f(2)+4a=8a$ .곡선 $y=f(x)$ 와 $x$ 축 및 직선 $x=1$ 로 둘러싸인 부분의 넓이가 3 이고 원점 대칭 $(f(-1)=-2a)$ 과 증가함수인 성질을 이용하면 또한 곡선 $y=f(x)$ 와 $y$ 축 및 직선 $y=-2a$ 로 둘러싸인 부분의 넓이는 $2a-3$ 이다.
$\int_{1}^{4} f(x)dx= \int_{1}^{2} f(x)dx + \int_{2}^{3} f(x)dx +\int_{3}^{4} f(x)dx$ 이고, $\int_{1}^{2} f(x)dx+ \int_{2}^{3} f(x)dx + \int_{3}^{4} f(x)dx =(2a+2a-3)+(4a+3)+(6a+2a-3)$ 이므 로 $(2a+2a-3)+(4a+3)+(6a+2a-3)=16a-3=45$ . 따라서, $a$ 의 값은 $3. \lt /p \gt $

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
$[①] 2a$	2점
$[②] 8a$	2점
$[③] 2a-$	3점
$[④]$	3점

수학Ⅰ 삼각함수

💡 상세해설 및 모범답안

$ \lt p \gt 0\le x \lt 2$ 즉 $n=1$ 일 때, $f(x)=\cos (\pi x)$ 이다.
$2f(x)-1=0$ 에서 $\cos (\pi x)=\frac{1}{2}$ , 이 구간에서 가장 작은 실근이 존재하고 그 값은 $x=\frac{1}{3}$ 이다.
$2\le x \lt 4$ 즉 $n=2$ 일 때, $f(x)=\cos (2\pi x)$ 이다.
$2f(x)-1=0$ 에서 $\cos (2\pi x)=\frac{1}{2}$ ,이 구간에서 가장 큰 실근이 존재하고 그 값은 $x=\frac{23}{6}$ 이다.
$ \lt /p \gt $

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
$0\le x \lt 2($ 또는 $n=1), f(x)=\cos (\pi x) 2 x=\frac{1}{3} 3 2\le x \lt 4($ 또는 $n=2), f(x)=\cos (2\pi x) 2 x=\frac{23}{6}$	3점

수학Ⅰ 수열

💡 상세해설 및 모범답안

$ \lt p \gt a_{n}+bn=2$ 에서 $\sum_{k=1}^{10} (a_{k}+bk)=20 ($ 식1) 이고, $\sum_{k=1}^{9} {(a_{k}+1)^2-(bk+1)^2}=\sum_{k=1}^{10} {(a_{k})^2-(bk)^2}-(a_1 2-b1 2)=20$ 이다.
이때 두 수열의 첫째항이 같으므로 식 $2) \sum_{k=1}^{10} {(a_{k}-bk)(a_{k}+bk)}=\sum_{k=1}^{10} {2(a_{k}-bk)}=20($ 식2) 이다.
$ \lt /p \gt $

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
$\sum_{k=1}^{10} a_{k}=15 4 a_11=8 4 23$	2점

수학Ⅰ 지수함수와 로그함수

💡 상세해설 및 모범답안

모범 답안을 작성 중입니다.
수식을 점검해 주십시오.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
$-9 \lt x \lt -3 ($ 또는 $\frac{x}{3}=t$ 로 놓으면 $-3 \lt t \lt -1) 3 -6\le x\le 10.5 ($ 또는 $\frac{x}{3}=t$ 로 놓으면 $-2\le t\le 3.5) 3 -6\le x \lt -3, ($ 또는 $x$ 는 $-4,-5,-6) 3 3$ 개	1점

수학Ⅰ 수열

💡 상세해설 및 모범답안

등차수열 $ \{a_n\} $의 첫째항을 $ a $, 공차를 $ d $라 하면,
$ a_5 + a_6 + a_7 = 30 $에서 $ (a+4d) + (a+5d) + (a+6d) = 3a+15d = 30 $이고,
$ a_9 + a_{10} = (a+8d) + (a+9d) = 2a+17d = 6 $이다.
상기 연립일차방정식을 풀이하면,
$ \therefore a=20, d=-2 $
따라서 $ a_{20} = 20 + 19(-2) = -18 $이므로
$ \therefore S_{20} = \frac{20(a_1 + a_{20})}{2} = \frac{20 \{20 + (-18)\}}{2} = 20 $

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
수열의 일반항 식 세우기 및 초기 조건 도출	3점
수열의 합 또는 점화식의 규칙성 추론	3점
최종 항 또는 합의 값 도출	4점

수학Ⅰ 삼각함수

💡 상세해설 및 모범답안

$ AC = x, BD = y $라 하자.
조건 (가)에서 $ x+y=11 $이고, 조건 (나)에서 $ \frac{1}{2} x y \sin 30^\\circ = 6 $으로부터 $ \frac{1}{4}xy = 6 $, 즉 $ xy=24 $이다.
따라서 $ x, y $는 방정식 $ t^2 - 11t + 24 = 0 $의 두 근이다.
$ x \lt y $이므로 $ x=3, y=8 $.
따라서 $ \frac{BD}{AC} = \frac{y}{x} = \frac{8}{3} $.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
삼각함수의 성질 및 항등식 적용하기	3점
삼각방정식 풀이 및 미지수 조건 분석	3점
최종 각도 또는 삼각비의 값 도출	4점

수학Ⅱ 다항함수의 미분법

💡 상세해설 및 모범답안

$ y = -x^3 + 6tx^2 + 5tx $에서 $ y' = -3x^2 + 12tx + 5t = -3(x-2t)^2 + 12t^2 + 5t $
곡선 $ y = -x^3 + 6tx^2 + 5tx $에 접하는 직선의 기울기는 $ x=2t $에서 최댓값 $ 12t^2 + 5t $를 갖는다.
이 때 접점의 좌표는 $ (2t, 16t^3 + 10t^2) $이므로 접선의 방정식은
$ y = (12t^2 + 5t)(x-2t) + 16t^3 + 10t^2 $
$ \therefore y = (12t^2 + 5t)x - 8t^3 $

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
함수 미분하기 및 도함수 조건 설정	3점
접선의 방정식 또는 극값 조건을 만족하는 미지수 계산	3점
최종 함숫값 및 기하학적 넓이 계산	4점

수학Ⅰ 지수함수와 로그함수

💡 상세해설 및 모범답안

$ \log_2 a + \log_3 b = 3c $
$ (\log_3 a)(\log_2 b) = \left( \frac{\log a}{\log 3} \right) \left( \frac{\log b}{\log 2} \right) = \left( \frac{\log a}{\log 2} \right) \left( \frac{\log b}{\log 3} \right) = (\log_2 a)(\log_3 b) = 2c^2 $이므로,
$ A = \log_2 a $, $ B = \log_3 b $라 놓으면,
$ A+B = 3c $, $ AB = 2c^2 $
따라서 $ A $와 $ B $는 이차방정식 $ x^2 - 3cx + 2c^2 = 0 $의 두 근이다.
$ a \lt b $ (제시문 조건 등에 의해 $ A \lt B $)이므로 $ A = \log_2 a = c $, $ B = \log_3 b = 2c $이다. ($ A=2c, B=c $인 경우는 해당하지 않는다.)
따라서 $ a = 2^c, b = 3^{2c} = 9^c $이므로,
$ \frac{a}{b} = \frac{2^c}{9^c} = \left(\frac{2}{9}\right)^c $
따라서 $ k = \frac{2}{9} $이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
지수/로그의 밑 조건 및 방정식/부등식 조건 분석	3점
밑 변환 및 로그 성질을 이용한 식 전개	3점
연립 방정식 해 구하기 및 최종 결론	4점

수학Ⅰ 삼각함수

💡 상세해설 및 모범답안

$ \sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right) = \cos x $, $ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x $이므로 주어진 식은
$ y = -\sin^2 x - 2k\sin x + 3k = -(\sin x + k)^2 + k^2 + 3k $이다.
$ \sin x = t $라 하면 $ y = f(t) = -t^2 - 2kt + 3k = -(t+k)^2 + k^2 + 3k $이고 정의역은 $ [-1, 1] $이다.
$ k \lt -1 $이므로 대칭축 $ t = -k \gt 1 $이다. 따라서 최댓값은 $ x = \frac{\pi}{2} $ 즉, $ t=1 $에서 $ f(1) = k-1 $이다.
최댓값이 $ -3 $이므로 $ k-1 = -3 \implies k=-2 $이다.
최솟값은 $ x = \frac{3\pi}{2} $ 즉, $ t=-1 $에서 $ f(-1) = 5k-1 $이다.
따라서 최솟값은 $ 5(-2) - 1 = -11 $이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
삼각함수의 성질 및 항등식 적용하기	3점
삼각방정식 풀이 및 미지수 조건 분석	3점
최종 각도 또는 삼각비의 값 도출	4점

수학Ⅱ 다항함수의 적분법

💡 상세해설 및 모범답안

두 점 $ P, Q $의 시각 $ t=k $에서의 위치를 각각 $ f(k), g(k) $라 하면,
$ f(k) = k^2 - 3ak $, $ g(k) = \frac{1}{2}k^2 + ak $이다.
$ h(k) = f(k) - g(k) = \frac{1}{2}k^2 - 4ak $라 하면, 두 점 사이의 거리는 $ |h(k)| $이다.
$ |h(k)| = 72 $가 되도록 하는 모든 양수 $ k $의 개수가 2개이려면,
$ k \gt 0 $일 때, $ |h(k)| = 72 $의 서로 다른 실근의 개수가 2개이어야 한다.
이차함수 $ h(k) $는 $ k = 4a $에서 극소이자 최소이므로, $ |-h(4a)| = 72 $이어야 한다.
$ |h(4a)| = \left| \frac{1}{2}(4a)^2 - 4a(4a) \right| = |-8a^2| = 8a^2 = 72 $
$ a^2 = 9 $, $ \therefore a=3 $ ($ \because a \gt 0 $)

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
피적분함수 설정 및 정적분 식 세우기	3점
치환/부분적분 또는 기본 정적분 계산 과정	3점
최종 넓이 또는 적분값 도출	4점

수학Ⅰ 수열

💡 상세해설 및 모범답안

조건 (가)에서 $ \sum_{k=1}^{10} (a_k^2 + 4a_k + 4) = 192 \implies \sum_{k=1}^{10} (a_k^2 + 4a_k) + 40 = 192 $
조건 (나)에서 $ \sum_{k=1}^{10} (a_k^2 + a_k) = \sum_{k=1}^{11} 2a_k $
위의 두 식을 변변 빼주면,
$ \sum_{k=1}^{10} 3a_k = 152 - \sum_{k=1}^{11} 2a_k $ $\cdots$ (식 1)
조건 (다)에서 $ \sum_{k=1}^{10} k(a_k - a_{k+1}) = (a_1 - a_2) + 2(a_2 - a_3) + \\dots + 10(a_{10} - a_{11}) = 20 $
$ (a_1 + a_2 + \\dots + a_{10}) - 10a_{11} = 20 \implies \sum_{k=1}^{10} a_k = 20 + 10a_{11} $
$ a_{11} = \sum_{k=1}^{11} a_k - \sum_{k=1}^{10} a_k $ 이므로,
$ \sum_{k=1}^{10} a_k = 20 + 10 \left( \sum_{k=1}^{11} a_k - \sum_{k=1}^{10} a_k \right) $ $\cdots$ (식 2)
(식 1)과 (식 2)를 연립하여 풀면,
$ \sum_{k=1}^{11} a_k = 31 $이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
수열의 일반항 식 세우기 및 초기 조건 도출	3점
수열의 합 또는 점화식의 규칙성 추론	3점
최종 항 또는 합의 값 도출	4점

수학Ⅱ 함수의 극한과 연속

💡 상세해설 및 모범답안

$ 5^2=25, 5^3=125, 5^4=625, 5^5=3125 $이므로,
구간 $ (0, 2) $에서 $ f(x)=1 $, 구간 $ [2, 52) $에서 $ f(x)=2 $, 구간 $ [52, 302) $에서 $ f(x)=3 $, 구간 $ [302, 1552) $에서 $ f(x)=4 $이다.
구간 $ (0, n] $에서 $ f $의 불연속인 점의 개수는 $ n=2 $일 때는 1개, $ 2 \lt n \\le 52 $일 때는 2개, $ 52 \lt n \\le 302 $일 때는 3개, $ 302 \lt n \\le 1552 $일 때는 4개이다.
따라서 구간 $ (0, 344] $에서 불연속인 점의 개수는 4이므로,
구간 $ (0, 1720] $에서 $ f(x) $의 불연속인 점의 개수는 $ 4 \times 5 = 20 $개이다.
또한, $ x=1722, x=1772, x=2022 $에서 $ f(x) $는 불연속이므로, 불연속인 점의 총 개수가 23이 되도록 하는 자연수 $ n $의 최댓값은 344이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
제시문의 조건에 맞는 식 세우기 및 상황 분석	3점
조건을 만족하는 미지수 구하기 및 유도 과정	3점
정답 계산 및 최종 답안 서술	4점

수학Ⅱ 다항함수의 미분법

💡 상세해설 및 모범답안

$ P(t, t^2+1) $이라 하면 $ y=x^2+1 $에서 $ y'=2x $이므로 직선 $ l $의 기울기는 $ 2t $이다.
이때 직선 PQ의 기울기가 $ -\frac{1}{2t} $이므로 $ \frac{(t^2+1)-\frac{9}{2}}{t-m} = -\frac{1}{2t} $에서 $ 2t^3-6t-m=0 $.
$ f(t)=2t^3-6t-m $라 하면 방정식 $ f(t)=0 $이 하나의 실근을 가져야 한다.
$ f'(t)=6t^2-6 $이므로 $ f'(t)=0 $에서 $ t=-1 $ 또는 $ t=1 $. 함수 $ f(t) $는 $ t=-1 $에서 극대, $ t=1 $에서 극소이므로 $ f(-1) \times f(1) \gt 0 $이 성립해야 한다.
$ (-2+6-m)(2-6-m) \gt 0 $에서 $ m \lt -4 $ 또는 $ m \gt 4 $.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
함수 미분하기 및 도함수 조건 설정	3점
접선의 방정식 또는 극값 조건을 만족하는 미지수 계산	3점
최종 함숫값 및 기하학적 넓이 계산	4점

수학Ⅱ 극한

💡 상세해설 및 모범답안

$x \lt 1$일 때 $f(x) = x - \frac{x}{1+x} = \frac{x^2}{1+x}$, $x \gt 1$일 때 $f(x) = 1 - \frac{x}{1+x} = \frac{1}{1+x}$. $f(1) = \frac{1}{2}$이므로 $\lim_{x \to 1-} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{x \to 1-} \frac{\frac{x^2}{1+x} - \frac{1}{2}}{x-1} = \lim_{x \to 1-} \frac{(2x+1)(x-1)}{2(1+x)(x-1)} = \frac{3}{4}$, $\lim_{x \to 1+} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{x \to 1+} \frac{\frac{1}{1+x} - \frac{1}{2}}{x-1} = \lim_{x \to 1+} \frac{1-x}{2(1+x)(x-1)} = -\frac{1}{4}$

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
$f(x) = \frac{x^2}{1+x}$ 또는 $f(x) = x - \frac{x}{1+x}$	2점
$f(x) = \frac{1}{1+x}$ 또는 $f(x) = 1 - \frac{x}{1+x}$	2점
$\lim_{x \to 1^-} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \frac{3}{4}$	3점
$\lim_{x \to 1^+} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = -\frac{1}{4}$	3점

수학Ⅱ 미분

💡 상세해설 및 모범답안

접선의 기울기를 $m$이라 하면 점 $\left(\frac{1}{2a}, 0\right)$을 지나는 접선의 방정식은 $y = m\left(x - \frac{1}{2a}\right)$이다.
또한 $x = k$에서 접하므로 $m = 2ak$이다.
한편 접선이 점 $(k, ak^2)$을 지나므로 $ak^2 = 2ak\left(k - \frac{1}{2a}\right)$이다.
따라서 $k = \frac{1}{a}$이다.
결론적으로 접선의 기울기는 $m = 2$이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
접선의 방정식은 $y - ak^2 = 2ak(x - k)$ 또는 $y = 2akx - ak^2$	4점
$ak = 1$ 또는 $k = \frac{1}{a}$	4점
접선의 기울기는 $2$	2점

수학Ⅱ 지수와 지수방정식

💡 상세해설 및 모범답안

$f(x) = 3^{|x|} + a$의 그래프는 $x=0$에서 최솟값 $1+a$를 갖는다.
$4^{f(x)} - 5 \times 2^{f(x)+1} + 24 = 0$ 방정식은 $2^{f(x)}$를 $t$라 치환하면 $t^2 - 10t + 24 = 0$이 되고, 이 방정식의 해는 $t=4, 6$이다.
$f(x)$의 최솟값은 $1+a$이므로 $2^{f(x)} \ge 2^{1+a}$이다.
오직 하나의 실근을 갖기 위해서는 $2^{f(x)}$의 최솟값이 6이 되어야 한다.
($\because 2^{f(x)} = 4$이면,
$2^{f(x)} = 6$인 근 $x$가 존재) 따라서 $2^{1+a} = 6$ 즉, $a$의 값은 $\log_2 6 - 1$ 또는 $\log_2 3$이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
$2^{f(x)} = t$, $t^2 - 10t + 24 = 0$, $t = 4, 6$	3점
$f(x) = 3^{\|x\|} + a$ 는 $x = 0$에서 최솟값 $1 + a$를 갖는다.	2점
오직 하나의 실근을 갖기 위해서는 $2^{f(x)}$의 최솟값이 $6$만 가능하다. 또는 $2^{f(x)} = 4$ 는 부적합하다.	3점
$2^{1+a} = 6$ 즉, $a$의 값은 $\log_2 6 - 1$ 또는 $\log_2 3$	2점

수학Ⅱ 삼각함수의 정의

💡 상세해설 및 모범답안

$3\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} + \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \times \frac{b}{a} = 3$, $\frac{3a+b}{\sqrt{a^2+b^2}} = 3$, $(3a+b)^2 = 9(a^2+b^2)$ $9a^2+6ab+b^2 = 9a^2+9b^2$, $6ab = 8b^2$, $\therefore \frac{a}{b} = \frac{4}{3}$

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
$3\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} + \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \times \frac{b}{a} = 3$ 또는 $3\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} = 3$ 또는 $3\cos\theta + \sin\theta = 3$ 또는 $3(\cot\theta - \csc\theta) = -1$	3점
$(3a+b)^2 = 9(a^2+b^2)$ 또는 $9a^2+6ab+b^2 = 9a^2+9b^2$ 또는 $5\cos^2\theta - 9\cos\theta + 4 = 0$ 또는 $\cot\theta + \csc\theta = 3$	2점
$\therefore \frac{a}{b} = \frac{4}{3}$	5점

수학Ⅱ 수열의 합과 일반항과의 관계

💡 상세해설 및 모범답안

$a_n = S_n - S_{n-1} = \frac{1}{9} \left\{ n^2(n+2)^2 - (n-1)^2(n+1)^2 \right\}$ $= \frac{1}{9} ( n^4 + 4n^3 + 4n^2 - n^4 + 2n^2 - 1 ) = \frac{1}{9} ( 4n^3 + 6n^2 - 1 )$ $\therefore a_1 = S_1 = 1$ $\therefore a_{100} = \frac{1}{9} ( 4000000 + 60000 - 1 ) = 451111$ $\therefore a_1 + a_{100} = 451112$

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
$a_1 = S_1 = 1$	3점
$a_{100} = 451111$	6점
$a_1 + a_{100} = 451112$	1점

수학Ⅱ 극한

💡 상세해설 및 모범답안

$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-x^3}{x^2} = -9$이므로 $f(x) = x^3 - 9x^2 + ax + b$이다.
또한 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 14$이므로 $f(0) = 0$가 성립해야하므로 $b = 0$. 따라서 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3 - 9x^2 + ax}{x} = \lim_{x \to 0} (x^2 - 9x + a) = a = 14$ 이므로 $f(x) = x^3 - 9x^2 + 14x = x(x-2)(x-7)$이고 결국 $\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = \lim_{x \to 2} x(x-7) = -10$.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
$f(x) = x^3 - 9x^2 + ax + b$	3점
$b = 0$, 또는 상수항은 $0$	2점
$a = 14$, 또는 일차항의 계수는 $14$	3점
$\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = -10$.	2점

수학Ⅱ 지수와 로그

💡 상세해설 및 모범답안

$0 \lt |a+1| \lt 1$일 때, 함수 $f(x) = \log_{|a+1|} x$는 감소 함수 따라서, $f(x) = \log_{|a+1|} x$는 $x = \frac{1}{9}$에서 최댓값 2를 갖는다.
$|a+1|^2 = \frac{1}{9}, \therefore |a+1| = \frac{1}{3}, \implies a = -\frac{2}{3}, -\frac{4}{3}$ $1 \lt |a+1|$일 때, 함수 $f(x) = \log_{|a+1|} x$는 증가 함수 따라서, $f(x) = \log_{|a+1|} x$는 $x = 16$에서 최댓값 2를 갖는다.
$|a+1|^2 = 16, \therefore |a+1| = 4, \implies a = 3, -5$

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
$0 \lt \|a+1\| \lt 1$일 때, $f(x) = \log_{\|a+1\|} x$는 $x = \frac{1}{9}$에서 최댓값 $2$를 갖는다.	2점
$\therefore \|a+1\| = \frac{1}{3}, \Rightarrow a = -\frac{2}{3}, -\frac{4}{3}$	3점
$1 \lt \|a+1\|$일 때, $f(x) = \log_{\|a+1\|} x$는 $x = 16$에서 최댓값 $2$를 갖는다.	2점
$\therefore \|a+1\| = 4, \Rightarrow a = 3, -5$	3점

수학Ⅱ 적분

💡 상세해설 및 모범답안

시각 $t(t \ge 0)$에서의 두 점 A, B의 위치는 각각 $s_1(t) = \int_0^t v_1(\tau) d\tau = \int_0^t (2\tau^3 - 12\tau^2 + 24\tau) d\tau = \frac{1}{2}t^4 - 4t^3 + 12t^2$, $s_2(t) = \int_0^t v_2(\tau) d\tau = \int_0^t \left(\frac{3}{2}\tau^2 + 9a\right) d\tau = \frac{1}{2}t^3 + 9at$이다.
두 점이 만나므로 $s_1(t) = s_2(t)$라 놓으면 $\frac{1}{18}t^4 - \frac{1}{2}t^3 + \frac{4}{3}t^2 = at$이고 출발 후 두 점이 만나는 횟수는 $\frac{1}{18}t^3 - \frac{1}{2}t^2 + \frac{4}{3}t = a$의 실근의 개수와 같다.
즉 함수 $f(t) = \frac{1}{18}t^3 - \frac{1}{2}t^2 + \frac{4}{3}t (t \ge 0)$의 그래프와 직선 $y = a$의 교점의 개수가 2인 $a$값을 구한다.
즉 극값에서 직선 $y = a$와 교점의 개수가 2이다.
따라서 $f'(t) = \frac{1}{6}t^2 - t + \frac{4}{3} = \frac{1}{6}(t-2)(t-4)$이므로 $t = 2, 4$에서 교점이 2개이다.
$f(2) = \frac{10}{9}$, $f(4) = \frac{8}{9}$이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
두 점 $A, B$의 위치는 각각 $s_1(t) = \int_0^t v_1(t) dt = \frac{1}{2}t^4 - 4t^3 + 12t^2$ , $s_2(t) = \int_0^t v_2(t) dt = \frac{1}{2}t^3 + 9at$ 이다.	3점
출발 후 두 점이 만나는 횟수는 $\frac{1}{18}t^3 - \frac{1}{2}t^2 + \frac{4}{3}t = a$ 의 실근의 개수와 같 다. 또는 $t^3 - 9t^2 + 24t = 18a$	2점
$t=2, 4$에서 직선 $y=a$와의 교점이 2개이다.	3점
$f(2) = \frac{10}{9}$, $f(4) = \frac{8}{9}$	2점

수학Ⅱ 적분

💡 상세해설 및 모범답안

곡선 $y = -x^2+6x-9 = -(x-3)^2$ 위의 점 $(a, f(a))$ ($0 < a < 3$)에서의 접선의 방정식은 $f'(x) = -2x+6$ 이므로 $y = -2(a-3)(x-a) - (a-3)^2$ 이다.
따라서 접선의 $x$절편은 $\frac{a+3}{2}$ 이고 $y$절편은 $a^2-9$ 이므로 접선과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는 $\frac{1}{2} \times \left(\frac{a+3}{2}\right) \times (9-a^2)$ 이다.
따라서 $y = f(x)$의 그래프와 접선 및 $x$축 또는 $y$축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 $S = -\int_0^3 f(x) dx - \text{삼각형넓이}$ 로 계산할 수 있다.
$$ \begin{aligned} S &= -\int_0^3 (-x^2+6x-9) dx - \frac{(a+3)(9-a^2)}{4} \\ &= \left[ \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 9x \right]_0^3 - \frac{(a+3)(9-a^2)}{4} \\ &= \frac{1}{4}a^3 + \frac{3}{4}a^2 - \frac{9}{4}a + \frac{9}{4} \end{aligned} $$
따라서 넓이 $S$의 ($0 < a < 3$)에서의 최솟값은 $$ \begin{aligned} S' = \frac{3}{4}a^2 + \frac{3}{2}a - \frac{9}{4} \\ = \frac{3}{4}(a-1)(a+3) \end{aligned} $$ 이므로 $a = 1$에서 극소값 $S = 1$을 가지며 이 값이 최솟값이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
접선의 방정식은 $y = -2(a-3)(x-a)-(a-3)^2$ 또는 $y = (-2a+6)x+a^2-9$	2
부분의 넓이 $S = \frac{1}{4}a^3+\frac{3}{4}a^2-\frac{9}{4}a+\frac{9}{4}$이다.	6
넓이 $S$의 ($0 < a < 3$)에서의 최솟값: $a=1$에서 $S=1$	2

📝 [수학 7번 문항]

📝 [수학 8번 문항]

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