(1) $A = B = 1, \theta = 0$ 일 때, $x = \cos 2\pi t$, $y = \cos 2\pi t$ 이다. 시간 $t$에 따라 전기장은 두 점 $(-1, -1)$과 $(1, 1)$을 잇는 선분 위에서 진동한다. 따라서 관계식은 $y = x \; (-1 \le x \le 1)$이며, 답안지 좌표평면 상에 두 끝점 $(-1, -1)$과 $(1, 1)$을 연결한 선분을 작도한다.

(2) 매개변수 함수의 미분법에 의해 $\frac{dx}{dt} = -2\pi \sin 2\pi t$ 이다. 삼각함수의 덧셈정리에 의해 $y = \cos(2\pi t + \frac{\pi}{3}) = \cos 2\pi t \cos\frac{\pi}{3} - \sin 2\pi t \sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\cos 2\pi t - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2\pi t$ 이므로, 이를 $t$에 대해 미분하면 $\frac{dy}{dt} = -\pi \sin 2\pi t - \sqrt{3}\pi \cos 2\pi t$ 이다. 따라서, $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{-\pi \sin 2\pi t - \sqrt{3}\pi \cos 2\pi t}{-2\pi \sin 2\pi t} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\cot 2\pi t$ 이다. 이로부터 상수 $a = \frac{1}{2}$, $b = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 을 얻는다.

(3) $A = B = \sqrt{5}, \theta = \frac{\pi}{2}$ 일 때, $x = \sqrt{5}\cos 2\pi t$, $y = \sqrt{5}\cos(2\pi t + \frac{\pi}{2}) = -\sqrt{5}\sin 2\pi t$ 이다. 두 식을 제곱하여 더하면 $x^2 + y^2 = 5$ 가 되어 반지름이 $\sqrt{5}$인 원을 나타낸다. 주기 $p = 1$이므로 시각 $t=0$에서 $t=\frac{1}{4}$까지 전자가 이동한 곡선의 길이는 원주의 $\frac{1}{4}$이다. 즉, 곡선의 길이는 $L = \frac{1}{4} \times (2\pi \sqrt{5}) = \frac{\sqrt{5}}{2}\pi$ 이다. 또한, $t=0$일 때 $(\sqrt{5}, 0)$에서 출발하여 $t=\frac{1}{4}$일 때 $(0, -\sqrt{5})$에 도달하므로 전기장의 진동 방향은 시계 방향이다. 따라서 좌원편광이다.

(4) $A = 3, B = 2, \theta = \frac{\pi}{2}$ 일 때, 곡선의 방정식은 타원 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ 이다. 1사분면 위의 점 $P(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 $\frac{x_1 x}{9} + \frac{y_1 y}{4} = 1$ 즉, $4x_1 x + 9y_1 y = 36$ 이다. 이 접선이 $x$축, $y$축과 만나는 점은 각각 $M(\frac{9}{x_1}, 0)$, $N(0, \frac{4}{y_1})$ 이므로, 삼각형 $OMN$의 넓이 $S$는 다음과 같다: $$ \begin{aligned} S = \frac{1}{2} \times \frac{9}{x_1} \times \frac{4}{y_1} \\ = \frac{18}{x_1 y_1} \end{aligned} $$ 점 $P$가 타원 위의 점이므로 $4x_1^2 + 9y_1^2 = 36$ 이 성립한다. 산술·기하평균의 관계에 의해 $36 = 4x_1^2 + 9y_1^2 \ge 2\sqrt{36x_1^2 y_1^2} = 12x_1 y_1$ 이므로 $x_1 y_1 \le 3$ 이다. 따라서, $S = \frac{18}{x_1 y_1} \ge \frac{18}{3} = 6$ 이 되어 최솟값은 6이다.

(1) 정육각형 한 변의 길이가 1일 때, 원점 $(0,0)$에서 출발하는 12개 방향의 기본벡터 성분을 3시 방향부터 반시계 방향으로 나열하면 다음과 같다: $$ \begin{aligned} &\vec{u}_1 = (\sqrt{3}, 0), \quad \vec{u}_2 = \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right), \quad \vec{u}_3 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right), \quad \vec{u}_4 = (0, 3), \\ &\vec{u}_5 = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right), \quad \vec{u}_6 = \left(-\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right), \quad \vec{u}_7 = (-\sqrt{3}, 0), \quad \vec{u}_8 = \left(-\frac{3\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}\right), \\ &\vec{u}_9 = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}\right), \quad \vec{u}_{10} = (0, -3), \quad \vec{u}_{11} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}\right), \quad \vec{u}_{12} = \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}\right) \end{aligned} $$ 이때 예시 1(길이 $\sqrt{3}$)과 예시 3(길이 $3$)에 대응하여 A 경로와 B 경로를 구분하면 다음과 같다:

• A 경로 기본벡터: $(\sqrt{3}, 0), \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right), \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right), (-\sqrt{3}, 0), \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}\right), \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}\right)$
• B 경로 기본벡터: $\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right), (0, 3), \left(-\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right), \left(-\frac{3\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}\right), (0, -3), \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}\right)$

(2) 전자기력 벡터 $\vec{F}_1 = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{5}{2}\right)$ 이다. 12개의 기본벡터들과 $\vec{F}_1$의 내적을 구하여 $\vec{u} \cdot \vec{F}_1 > 0$이면서 그 값이 최소가 되는 기본벡터를 찾는다. 계산 결과, 내적값이 양수이면서 최소가 되는 기본벡터는 $\vec{u}_7 = (-\sqrt{3}, 0)$과 $\vec{u}_{12} = \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}\right)$ 이며, 이들의 내적값은 각각 다음과 같다: $$ \begin{aligned} \vec{u}_7 \cdot \vec{F}_1 = (-\sqrt{3}) \times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ = \frac{3}{2}, \quad \vec{u}_{12} \cdot \vec{F}_1 = \frac{3\sqrt{3}}{2}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right) = -\frac{9}{4} + \frac{15}{4} = \frac{3}{2} \end{aligned} $$ 두 내적값이 동일하므로, 조건(내적이 동일한 경우 A 경로 선택)에 따라 전자는 A 경로에 속하는 기본벡터 $(-\sqrt{3}, 0)$을 갖는 경로로 이동한다. 이때의 내적값은 $\frac{3}{2}$이다.

(3) 변화된 전자기력 벡터는 다음과 같다: $$ \begin{aligned} \vec{F}_2 = 3\vec{F}_1 + (\sqrt{3}k, 0) \\ = \left(-\frac{3\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}k, -\frac{15}{2}\right) \end{aligned} $$ 문항 (2)에서 선택된 경로 $\vec{u} = (-\sqrt{3}, 0)$의 반대 방향 기본벡터는 $-\vec{u} = (\sqrt{3}, 0)$ 이다. 전자가 이 반대 경로를 선택하기 위해서는 우선 $(-\vec{u}) \cdot \vec{F}_2 > 0$ 조건을 만족해야 한다. $$ \begin{aligned} (-\vec{u}) \cdot \vec{F}_2 = (\sqrt{3}, 0) \cdot \left(-\frac{3\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}k, -\frac{15}{2}\right) \\ = -\frac{9}{2} + 3k > 0 \implies 3k > \frac{9}{2} \implies k > \frac{3}{2} \end{aligned} $$ $k$는 양의 정수이므로 $k \ge 2$ 이다. $k=2$ 일 때, $\vec{F}_2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{15}{2}\right)$ 이며, 이때 $(-\vec{u}) \cdot \vec{F}_2 = \frac{3}{2}$ 이다. $k=2$ 일 때 다른 모든 12개 기본벡터와의 내적을 조사하면, 양의 내적값을 갖는 벡터 중 $\vec{u}_{12}$를 포함한 모든 벡터의 내적값이 $\frac{3}{2}$보다 큼이 확인된다. 따라서 전자가 반대 경로로 이동하게 만드는 양의 정수 $k$의 최솟값은 2이다.

(1) 타원 $\frac{x^2}{9} + y^2 = 1$의 양변을 $x$에 대해 미분하면: $\frac{2x}{9} + 2y\frac{dy}{dx} = 0$, 따라서 $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{9y}$ (단, $y \neq 0$).

(2) 점 $A(x_1, y_1)$에서의 접선 기울기는 $m = -\frac{x_1}{9y_1}$이다. 접선의 방정식: $\frac{x_1 x}{9} + y_1 y = 1$이므로 $x$절편은 $\frac{9}{x_1}$, $y$절편은 $\frac{1}{y_1}$이다.

(3) 둘레길(마름모)의 넓이는 $\frac{1}{2} \times 2 \cdot \frac{9}{x_1} \times 2 \cdot \frac{1}{y_1} = \frac{18}{x_1 y_1}$. 자투리 넓이 = $\frac{18}{x_1 y_1} - 3\pi$. 타원 위 조건 $\frac{x_1^2}{9} + y_1^2 = 1$에서 산술·기하평균 부등식: $1 = \frac{x_1^2}{9} + y_1^2 \ge 2\sqrt{\frac{x_1^2 y_1^2}{9}} = \frac{2x_1 y_1}{3}$, 즉 $x_1 y_1 \le \frac{3}{2}$. 따라서 자투리 넓이 $\ge \frac{18}{3/2} - 3\pi = 12 - 3\pi$. 등호 조건: $x_1 = \frac{3}{\sqrt{2}}, y_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(4) $x_1 = \frac{3}{\sqrt{2}}$일 때, $x$절편 $= \frac{9}{x_1} = 3\sqrt{2}$이므로 F$(3\sqrt{2}, 0)$, F'$(-3\sqrt{2}, 0)$. $y$절편 $= \sqrt{2}$이므로 G$(0, \sqrt{2})$, G'$(0, -\sqrt{2})$. 마름모의 한 변의 길이 = $\sqrt{18 + 2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$. 장축 길이 $2a = 2\sqrt{5}$, 단축 길이 $2b = 2\sqrt{2}$. 울타리 타원: $\frac{x^2}{20} + \frac{y^2}{2} = 1$.

(1) $E(X) = \frac{5+7+11+13+35+37}{6} = \frac{108}{6} = 18$, $E(Y) = \frac{2+4+23+25+29+31}{6} = \frac{114}{6} = 19$.

(2) 홍익이가 승리하는 경우의 수: 36가지 중 16가지 → 확률 $\frac{16}{36} = \frac{4}{9}$. 아빠가 승리할 확률은 $\frac{20}{36} = \frac{5}{9}$. 따라서 아빠가 유리하다.

(3) 홍익이가 승리한 날의 수 $W \sim B(n, \frac{4}{9})$이므로 $E(W) = \frac{4n}{9}$, $V(W) = n \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{5}{9} = \frac{20n}{81}$. 정규분포로 근사하여 $P(W \ge k)$를 표준정규분포표로 계산한다.

(4) 엄마의 주사위 6면의 자연수 $e_1 < e_2 < \cdots < e_6$을 선택할 때, $\phi(e_i) = \phi_X(e_i) - \phi_Y(e_i)$로 정의하면 $p_1 + p_2 = \frac{1}{36}\sum_{i=1}^{6}(\phi_X(e_i) + \phi_Y(e_i))$이다. 이 값이 최대가 되는 경우를 분석하면 $p_1 + p_2$의 최댓값은 $\frac{59}{36}$이다.

(1) 처음 물풍선 부피: $\frac{4}{3}\pi R^3$. $t$초 후 부피 감소량: $\frac{4}{3}\pi t$. 따라서 $\frac{4}{3}\pi r(t)^3 = \frac{4}{3}\pi R^3 - \frac{4}{3}\pi t$이므로 $r(t) = \sqrt[3]{R^3 - t}$.

(2) 피타고라스 정리로 단면의 반지름은 $\sqrt{r^2 - s^2}$이므로 $A(s) = \pi(r^2 - s^2)$.

(3) 닮음 삼각형을 이용하여 적분 범위를 설정하고, 잠긴 부분의 부피를 $\int_{-r}^{h} \pi(r^2 - s^2) ds$로 나타낸다. 결과: $V_{잠긴} = \pi\left(r^2 h + \frac{r^3}{3} - \frac{h^3}{3}\right)$.

(4) $R = 5$일 때, 빠져나간 물의 부피 = 원뿔 부피 - 잠긴 물풍선 부피의 관계를 정리하면 $t_1 = 125$초.

(1) $\frac{x^2}{9} + y^2 = 1$의 양변을 $x$에 대해 미분하면 $\frac{2x}{9} + 2y \frac{dy}{dx} = 0$이므로 $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{9y}$.

(2) 점 $A(x_1, y_1)$에서의 기울기는 $m = -\frac{x_1}{9y_1}$이다. 접선 방정식: $\frac{x_1 x}{9} + y_1 y = 1$, $x$절편 $= \frac{9}{x_1}$, $y$절편 $= \frac{1}{y_1}$.

(3) 자투리 넓이 $= \frac{18}{x_1 y_1} - 3\pi$. 산술·기하평균으로 $x_1 y_1 \le \frac{3}{2}$이므로 최솟값은 $12 - 3\pi$. 이때 $x_1 = \frac{3\sqrt{2}}{2}$, $y_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

(4) F$(3\sqrt{2}, 0)$, F'$(-3\sqrt{2}, 0)$이 초점, G$(0, \sqrt{2})$, G'$(0, -\sqrt{2})$를 지나는 타원. 장축 $= 2\sqrt{20}$, 단축 $= 2\sqrt{2}$. 울타리 타원: $\frac{x^2}{20} + \frac{y^2}{2} = 1$.

(1) $E(X) = \frac{5+7+11+13+35+37}{6} = 18$, $E(Y) = \frac{2+4+23+25+29+31}{6} = 19$.

(2) 경우의 수 표로 분석하면 홍익이 승리: 16/36 = $\frac{4}{9}$, 아빠 승리: 20/36 = $\frac{5}{9}$. 아빠가 유리.

(3) 승리 일수 $W \sim B(n, \frac{4}{9})$. $E(W) = \frac{4n}{9}$, $\sigma = \sqrt{\frac{20n}{81}}$. $P(W \ge k) = P\left(Z \ge \frac{k - \frac{4n}{9}}{\sigma}\right)$.

(4) $\phi(e_i) = \phi_X(e_i) - \phi_Y(e_i)$로 정의하면, $p_1 + p_2 = \frac{1}{36}\sum(\phi_X + \phi_Y)$. 분석 결과 $p_1 + p_2$의 최댓값은 $\frac{59}{36}$.

(1) $\frac{4}{3}\pi r(t)^3 = \frac{4}{3}\pi R^3 - \frac{4}{3}\pi t$ 이므로 $r(t) = \sqrt[3]{R^3 - t}$.

(2) $A(s) = \pi(r^2 - s^2)$ (피타고라스 정리).

(3) 적분으로 잠긴 부피: $V = \int_{-r}^{h} \pi(r^2 - s^2) ds = \pi\left(r^2(h+r) - \frac{(h+r)(h^2 - hr + r^2)}{3}\right) = \frac{\pi}{3}(2r^3 + 3r^2 h - h^3)$.

(4) $R = 5$일 때, 부피 보존 조건에서 정리하면 $t_1 = 125$초.

(1) $y^2 = 4x$의 양변을 $x$에 대해 미분하면 $2y\frac{dy}{dx} = 4$이므로 $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$. 점 $P(t^2, 2t)$에서 기울기 $= \frac{1}{t}$. 접선: $y - 2t = \frac{1}{t}(x - t^2)$ 즉 $ty = x + t^2$.

(2) $T(-t^2, 0)$, $S(0, t)$이므로 $\triangle OTS$의 넓이 $= \frac{1}{2}|{-t^2}||t| = \frac{t^3}{2}$.

(3) 포물선과 접선, $x$축으로 둘러싸인 넓이 $= \int_0^{t^2}(\text{접선} - \text{포물선}) dx = \frac{t^3}{3}$.

(4) $p=1$이면 포물선 $y^2 = 4x$. 두 점 $P_1(t_1^2, 2t_1)$, $P_2(t_2^2, 2t_2)$에서의 접선이 수직: $\frac{1}{t_1} \cdot \frac{1}{t_2} = -1$이므로 $t_1 t_2 = -1$. 교점의 $x$좌표 $= t_1 t_2 = -1$이므로 자취의 방정식은 준선 $x = -1$.

(1) $g(x) = f(x)e^{-kx}$이면 $g'(x) = f'(x)e^{-kx} - kf(x)e^{-kx} = (f'(x) - kf(x))e^{-kx} = 0$. 따라서 $g(x)$는 상수함수이며 $g(0) = f(0) = 1$이므로 $f(x)e^{-kx} = 1$, 즉 $f(x) = e^{kx}$.

(2) $k=1$: $y = e^x$와 $y = e$, $y$축으로 둘러싸인 넓이 $= \int_0^1 (e - e^x) dx = [ex - e^x]_0^1 = (e - e) - (0 - 1) = 1$.

(3) $y$축 중심 회전: $V = \pi\int_0^1 (\ln y)^2 dy$ 또는 원통 셸법으로 $V = 2\pi\int_0^1 x(e - e^x)dx = 2\pi(e - 2)$.

(4) $k = -1$: $h(x) = xe^{-x}$이므로 $\int_0^{\infty} xe^{-x}dx = [-xe^{-x}]_0^{\infty} + \int_0^{\infty} e^{-x}dx = 0 + 1 = 1$.

(1) $P(X_1 = 0) = \frac{b}{r+b} = 1 - p$, $P(X_1 = 1) = \frac{r}{r+b} = p$.

(2) $P(X_2 = 0) = 1 - p$ (파란 공이 나옴), $P(X_2 = 1) = p(1-p)$ (빨간 → 파란), $P(X_2 = 2) = p^2$ (빨간 → 빨간).

(3) 확률변수 $X_n$의 기댓값 점화식을 정리하면 $E(X_n) = pE(X_{n-1}) + p$. 이를 풀면 $E(X_n) = \frac{p(1 - p^n)}{1 - p}$.

(4) $p = \frac{1}{2}$일 때 $E(X_n) = 1 - \frac{1}{2^n}$. $\sum_{n=1}^{\infty}(1 - \frac{1}{2^n}) \cdot \frac{1}{3^n} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n} - \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{6^n} = \frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{3}{10}$.

(1) $\frac{x^2}{4} - y^2 = 1$에서 점근선: $y = \pm\frac{x}{2}$. 초점: $c = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$이므로 $(\pm\sqrt{5}, 0)$.

(2) 음함수 미분법: $\frac{x_0}{4} - y_0 \frac{dy}{dx} = 0$이므로 $\frac{dy}{dx} = \frac{x_0}{4y_0}$. 접선: $\frac{x_0 x}{4} - y_0 y = 1$.

(3) 접선 $\frac{x_0 x}{4} - y_0 y = 1$과 점근선 $y = \frac{x}{2}$, $y = -\frac{x}{2}$의 교점을 구하여 넓이를 계산하면 항상 $S = 2$ (일정).

(4) 꼭짓점 $(2, 0)$에서 접선 $\frac{x_0 x}{4} - y_0 y = 1$까지의 거리 $= \frac{|\frac{x_0}{2} - 1|}{\sqrt{\frac{x_0^2}{16} + y_0^2}}$.

(1) $\int_0^1 \ln(1+x) dx = [(1+x)\ln(1+x) - (1+x)]_0^1 = (2\ln 2 - 2) - (0 - 1) = 2\ln 2 - 1$.

(2) $\int_0^{e-1} \ln(1+x) dx = [(1+x)\ln(1+x) - (1+x)]_0^{e-1} = e\ln e - e - (0 - 1) = e - e + 1 = 1$.

(3) $V = \pi\int_0^{e-1} [\ln(1+x)]^2 dx$. $u = \ln(1+x)$로 치환하면 $V = \pi\int_0^1 u^2 e^u du = \pi(e - 2)$.

(4) $\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x)^n$이므로 $\int_0^1 \frac{dx}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+1} = \ln 2$. 즉 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln 2$.

(1) 6명의 원순열: $(6-1)! = 5! = 120$가지.

(2) 특정 두 사람을 하나로 묶으면 $(5-1)! \times 2! = 4! \times 2 = 48$가지. 확률 $= \frac{48}{120} = \frac{2}{5}$.

(3) $Y \sim B(m, \frac{2}{5})$이므로 $E(Y) = \frac{2m}{5}$, $V(Y) = m \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{6m}{25}$.

(4) $m = 100$: $E(Y) = 40$, $V(Y) = 24$, $\sigma = 2\sqrt{6}$. $P(Y \ge 45) = P\left(Z \ge \frac{45-40}{2\sqrt{6}}\right) = P\left(Z \ge \frac{5}{2\sqrt{6}}\right) \approx P(Z \ge 1.02) \approx 0.1539$.

(1) $f'(x) = -2xe^{-x^2}$, $f''(x) = (4x^2 - 2)e^{-x^2} = 0$에서 $x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}$. 변곡점: $\left(\pm\frac{1}{\sqrt{2}}, e^{-1/2}\right)$.

(2) $I^2 = \int_0^{\infty}\int_0^{\infty} e^{-(x^2+y^2)} dxdy$. 극좌표: $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$이면 $I^2 = \int_0^{\pi/2}\int_0^{\infty} e^{-r^2} r\, dr\, d\theta = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{4}$. 따라서 $I = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$.

(3) 부분적분: $\int_0^{\infty} x^2 e^{-x^2} dx = \frac{1}{2}\int_0^{\infty} x \cdot 2xe^{-x^2} dx = [-\frac{x}{2}e^{-x^2}]_0^{\infty} + \frac{1}{2}\int_0^{\infty} e^{-x^2} dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} = \frac{\sqrt{\pi}}{4}$.

(4) $\int_{-\infty}^{\infty} x^2 \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} dx$. $u = \frac{x}{\sqrt{2}}$로 치환하면 $= \frac{2}{\sqrt{2\pi}} \int_0^{\infty} 2u^2 e^{-u^2} \sqrt{2}\, du = \frac{4}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{4} = 1$.

(1) $a = 3, b = 2$. 초점: $c = \sqrt{9-4} = \sqrt{5}$, $F(\sqrt{5}, 0), F'(-\sqrt{5}, 0)$. 장축 6, 단축 4, 이심률 $e = \frac{\sqrt{5}}{3}$.

(2) 타원의 정의에 의해 $\overline{PF} + \overline{PF'} = 2a = 6$. ✓

(3) $\triangle PFF'$의 밑변 $= 2c = 2\sqrt{5}$, 높이 최대 $= b = 2$. 최대 넓이 $= \frac{1}{2} \times 2\sqrt{5} \times 2 = 2\sqrt{5}$.

(4) $b^2 = a^2 - c^2 = a^2(1 - e^2)$이므로 $b = a\sqrt{1-e^2}$. $S = \pi ab = \pi a \cdot a\sqrt{1-e^2} = \pi a^2\sqrt{1-e^2}$. ∎

(1) 동전 A: $P(\text{앞면} \ge 2) = \binom{3}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^2\left(\frac{1}{3}\right) + \binom{3}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{12}{27} + \frac{8}{27} = \frac{20}{27}$.

(2) 동전 B: $P(\text{앞면} \ge 2) = \binom{3}{2}\left(\frac{1}{3}\right)^2\left(\frac{2}{3}\right) + \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{6}{27} + \frac{1}{27} = \frac{7}{27}$. 전체: $\frac{1}{2} \times \frac{20}{27} + \frac{1}{2} \times \frac{7}{27} = \frac{27}{54} = \frac{1}{2}$.

(3) 베이즈 정리: $P(A | \text{앞면} \ge 2) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{20}{27}}{\frac{1}{2}} = \frac{20}{27}$.

(4) $W \sim B(n, p_A)$ 여기서 $p_A = \frac{1}{2} \times \frac{20}{27} = \frac{10}{27}$. $E(W) = \frac{10n}{27}$, $V(W) = n \cdot \frac{10}{27} \cdot \frac{17}{27} = \frac{170n}{729}$.

(1) $\frac{dx}{d\theta} = -a\sin\theta$, $\frac{dy}{d\theta} = b\cos\theta$. $\theta = \frac{\pi}{4}$에서 기울기 $= \frac{b\cos(\pi/4)}{-a\sin(\pi/4)} = -\frac{b}{a}$.

(2) $S = -\int_0^{2\pi} y \frac{dx}{d\theta} d\theta = \int_0^{2\pi} ab\sin^2\theta\, d\theta = \pi ab$.

(3) $a = b = r$: $L = \int_0^{2\pi}\sqrt{r^2\sin^2\theta + r^2\cos^2\theta}\, d\theta = 2\pi r$.

(4) 접선과 법선이 좌표축과 이루는 사각형의 넓이를 $\theta$에 대한 함수로 표현하여 미분법으로 최댓값을 구한다. $S_{max} = \frac{(a^2-b^2)^2}{4ab}$ (이중각 조건에서 달성).

(1) $a_1 = 1$, $a_2 = 2 \cdot 1 + 1 = 3$, $a_3 = 2 \cdot 3 + 1 = 7$, …, 일반항: $a_n = 2^n - 1$.

(2) $b_n = a_n + \frac{q}{p-1}$이면 $b_{n+1} = a_{n+1} + \frac{q}{p-1} = pa_n + q + \frac{q}{p-1} = p\left(a_n + \frac{q}{p-1}\right) = pb_n$. 따라서 $\{b_n\}$은 공비 $p$인 등비수열.

(3) $|p| < 1$이면 $\lim_{n\to\infty} p^n = 0$이므로 $\lim a_n = -\frac{q}{p-1} = \frac{q}{1-p}$.

(4) $a_n = \left(1 + \frac{1}{p-1}\right)p^{n-1} - \frac{1}{p-1}$. $\sum_{n=1}^{\infty} a_n p^n = \frac{p}{(1-p)(1-p^2)} + \frac{p}{(p-1)(1-p)} = \frac{p}{(1-p)^2}$.

(1) $n=5$, $k=2$일 때 $P(M=3)$: 큰 수가 3이려면 다른 하나는 1 또는 2. $P(M=3) = \frac{\binom{2}{1}}{\binom{5}{2}} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

(2) $P(M=m) = \frac{m-1}{\binom{5}{2}} = \frac{m-1}{10}$ ($m = 2, 3, 4, 5$).

(3) $E(M) = \sum_{m=2}^{5} m \cdot \frac{m-1}{10} = \frac{1}{10}(2 + 6 + 12 + 20) = \frac{40}{10} = 4$.

(4) $E(M^2) = \sum_{m=2}^{5} m^2 \cdot \frac{m-1}{10} = \frac{1}{10}(4 + 18 + 48 + 100) = \frac{170}{10} = 17$. $V(M) = 17 - 16 = 1$.