2027대비_상명대_자연A

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QUESTIO AI

대학별 기출 격파 시리즈

상명대학교 (서울)

2027학년도 대비 기출해설집

[상명대 자연A형]

2026학년도 + 2025학년도 상세 정답 및 해설 (총 20문항)

QUESTIO 입시연구소

2027학년도 대비

📝 [문항 1번 해설] 지수 연립방정식

【정답 및 예시답안】

(1) $A=2^a, B=3^b$라 하자. ($A>0, B>0$)
$\begin{cases} 2A + 9B = 113 \\ 4A + 3B = 91 \end{cases}$ 이 연립방정식을 풀면 $A=16, B=9$이다.
$2^a = 16 \rightarrow a=4$, $3^b = 9 \rightarrow b=2$이다. 따라서 $a+b=6$이다.

(2) $a=4, b=2$를 대입하면,
$\log_4(4+1/2)^2 + \log_2(2+1/4) = \log_4(9/2)^2 + \log_2(9/4) = \log_2(9/2) + \log_2(9/4) = \log_2(81/8)$이다.
$\log_2\frac{m}{n} = \log_2\frac{81}{8}$이므로 $m=81, n=8$이다.
$n\sqrt{m} = 8\sqrt{81} = 8 imes 9 = 72$이다.

【풀이 과정 및 해설】

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
지수 연립 치환 및 $a, b$ 유도	7점
로그방정식 대입 및 $n\sqrt{m}$ 연산	3점

📝 [문항 2번 해설] 삼각부등식

【정답 및 예시답안】

(1) 좌변을 통분하면 $\frac{(2+2\cos x)-(2-2\cos x)}{4-4\cos^2 x} = \frac{4\cos x}{4\sin^2 x} = \frac{\cos x}{\sin^2 x} = \frac{2}{3}$이다.
$3\cos x = 2\sin^2 x = 2(1-\cos^2 x) \rightarrow 2\cos^2 x + 3\cos x - 2 = 0$
$(2\cos x - 1)(\cos x + 2) = 0 \rightarrow \cos x = \frac{1}{2}$ ($-1 \le \cos x \le 1$)
$0 < x < \pi$이므로 $x = \frac{\pi}{3}$. 즉, $\alpha = \frac{\pi}{3}$이다.

(2) $\cos A = \frac{1}{2}\cos(\pi/3) = \frac{1}{4}$이다.
$\sin A = \sqrt{1-\cos^2 A} = \sqrt{1-\frac{1}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$이다.

(3) 사인법칙에 의하여 $\overline{ext{BC}} = 2R\sin A = 2\sqrt{15} imes \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{15}{2}$이다.

【풀이 과정 및 해설】

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
삼각방정식 풀이를 통한 $\alpha$ 연산	5점
삼각비 공식을 활용한 $\sin A$ 연산	5점
사인법칙 적용 대변 길이 연산	0점

📝 [문항 3번 해설] 삼각형의 삼각비와 기하

【정답 및 예시답안】

(1) 사인법칙에 의해 세 변의 길이를 $a, b, c$라 하면 $\sin A:\sin B:\sin C = a:b:c$이다.
조건 (가)에 의해 $a^2 = b^2+2c^2$ 이고, (나)에 의해 $b=2c$이다. 대입하면 $a^2 = 4c^2+2c^2=6c^2$이다.
$a = 2\sqrt{6}$이므로 $a^2 = 24 = 6c^2 \rightarrow c^2=4 \rightarrow c=2$이고 $b=4$이다.
코사인법칙에 의해 $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{16+4-24}{16} = -\frac{4}{16} = -\frac{1}{4}$이다.

(2) 삼각형 넓이 조건에서 $\frac{1}{2}pq\sin A = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}bc\sin A\right) \rightarrow pq = \frac{1}{4}bc = \frac{1}{4}imes 8 = 2$이다.

(3) 코사인법칙에 의해 $\overline{ext{EF}}^2 = p^2+q^2-2pq\cos A = p^2+q^2-2(2)\left(-\frac{1}{4}\right) = p^2+q^2+1$이다.
산술-기하평균 부등식에 의해 $p^2+q^2 \ge 2pq = 4$이므로 $\overline{ext{EF}}^2 \ge 4+1 = 5$이다.
따라서 선분 $\overline{ext{EF}}$의 길이의 최솟값은 $\sqrt{5}$이다.

【풀이 과정 및 해설】

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
변의 길이비 활용 코사인 법칙 적용	7점
넓이 관계식을 통한 $pq$ 연산	3점
산술기하를 적용한 선분 최솟값 연산	0점

📝 [문항 4번 해설] 등비수열

【정답 및 예시답안】

(1) $a_1 r = 1 \rightarrow a_1 = \frac{1}{r}$이다. $a_n = a_1 r^{n-1} = r^{n-2}$이다.
$b_n = a_{3n-1} = r^{3n-3}$이다. $b_n$은 첫째항이 1, 공비가 $r^3$인 등비수열이다.
$A_9 = \frac{a_1(r^9-1)}{r-1} = \frac{r^9-1}{r(r-1)}$, $B_3 = \frac{1((r^3)^3-1)}{r^3-1} = \frac{r^9-1}{r^3-1}$이다.
$2A_9 = 7B_3 \rightarrow \frac{2(r^9-1)}{r(r-1)} = \frac{7(r^9-1)}{r^3-1}$에서 $r^9 \ne 1$이므로 약분하면 $\frac{2}{r(r-1)} = \frac{7}{r^3-1} = \frac{7}{(r-1)(r^2+r+1)}$이다.
$\frac{2}{r} = \frac{7}{r^2+r+1} \rightarrow 2r^2+2r+2 = 7r \rightarrow 2r^2-5r+2=0$
$(2r-1)(r-2)=0 \rightarrow r=2$ (증가수열이므로 $r>1$)

(2) $\frac{b_n}{a_n} = \frac{r^{3n-3}}{r^{n-2}} = r^{2n-1} = 2^{2n-1} > 1024 = 2^{10}$ 이므로 $2n-1 > 10 \rightarrow 2n > 11 \rightarrow n \ge 6$이다.

(3) $b_3 = r^6 = 2^6$, $a_5 = r^3 = 2^3$이므로 $\log_{b_3} a_5 = \log_{2^6} 2^3 = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$이다.

【풀이 과정 및 해설】

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
등비수열 합 연산 및 공비 $r$ 유도	1점
수열의 일반항 나눗셈 및 부등식 풀이	0점
로그 성질을 이용한 최종값 연산	9점

📝 [문항 5번 해설] 수열의 합

【정답 및 예시답안】

(1) $S_n = \sum _{k=1}^n a_k$라 하자. $S_1 = a_1^2 + 2a_1$ 이고 $S_1 = a_1$이므로 $a_1^2+a_1 = 0 \rightarrow a_1=0$ 또는 $a_1=-1$이다.
$a_{n+1} = S_{n+1} - S_n = a_{n+1}^2+(n+2)a_{n+1} - a_n^2-(n+1)a_n$
정리하면 $a_{n+1}^2-a_n^2 + (n+1)(a_{n+1}-a_n) = 0 \rightarrow (a_{n+1}-a_n)(a_{n+1}+a_n+n+1) = 0$ 이다.
조건 (가)에서 $a_{n+1} \ne a_n$이므로 $a_{n+1}+a_n = -(n+1)$이다. 즉, $a_1+a_2 = -2$이다.
만약 $a_1 = -1$ 이면 $a_2 = -1$이 되어 조건 (가)에 모순이다. 따라서 $a_1 = 0$이다.

(2) $a_1=0, a_2=-2, a_3=-1, a_4=-3, a_5=-2, a_6=-4, a_7=-3, a_8=-5, ...$로 진행된다.
(i) $n$이 짝수인 경우: $n=2m$ ($m$은 자연수)
$S_{2m} = (a_1+a_2) + (a_3+a_4) + ... + (a_{2m-1}+a_{2m}) = \sum _{j=1}^m (a_{2j-1}+a_{2j}) = \sum _{j=1}^m (-2j) = -m(m+1)$이다.
$|S_{2m}| = m(m+1) > 900 \rightarrow m^2+m > 900 \rightarrow m=30$일 때 $30 imes 31 = 930 > 900$이므로 가장 작은 짝수는 $n=2m=60$이다.

(ii) $n$이 홀수인 경우: $n=2m-1$ ($m$은 자연수)
$a_1=0$이므로 $S_{2m-1} = a_1 + (a_2+a_3) + (a_4+a_5) + ... + (a_{2m-2}+a_{2m-1}) = \sum _{j=1}^{m-1} (a_{2j}+a_{2j+1}) = \sum _{j=1}^{m-1} -(2j+1) = -(m^2-1)$이다.
예를 들어 $m=1(n=1)$이면 $S_1=0=-(1^2-1)$, $m=2(n=3)$이면 $S_3=-3=-(2^2-1)$, $m=3(n=5)$이면 $S_5=-8=-(3^2-1)$이다.
$|S_{2m-1}| = m^2-1 > 900 \rightarrow m^2 > 901 \rightarrow m=31$일 때 $31^2-1 = 960 > 900$이므로 가장 작은 홀수는 $n=2(31)-1=61$이다.

따라서 (i), (ii)에 의해 조건 $|S_n| > 900$을 만족시키는 가장 작은 자연수는 $n = 60$이다.

【풀이 과정 및 해설】

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
합과 일반항 관계 유도 및 첫째항 판정	9점
짝/홀수 경우의 수열 합 부등식 계산	1점

📝 [문항 6번 해설] 정적분 정의 함수

【정답 및 예시답안】

(1) $\int_1^x f(t)dt = xg(x)+2x+2$의 양변을 미분하면 $f(x) = g(x)+xg'(x)+2$이다.
$g(x) = x^2 + 2x\int_0^1 f(t)dt + \int_0^1 tf(t)dt$ 이므로, $a = \int_0^1 f(t)dt, b = \int_0^1 tf(t)dt$라 하면 $g(x) = x^2+2ax+b$이다.
$\int_1^x f(t)dt = xg(x)+2x+2$에 $x=0$을 대입하면 $\int_1^0 f(t)dt = 2 \rightarrow a = -2$이다.
$x=1$을 대입하면 $0 = g(1)+4 \rightarrow g(1) = -4$이다.
$g(1) = 1+2a+b = 1-4+b = -4 \rightarrow b = -1$이다. 따라서 $g(x) = x^2-4x-1$이다.

(2) $g'(x) = 2x-4$이므로 $f(x) = (x^2-4x-1) + x(2x-4) + 2 = 3x^2-8x+1$이다.

(3) $f(x)-g(x) = 2x^2-4x+2$이다. 직선 $y=2$와의 교점은 $2x^2-4x+2 = 2 \rightarrow 2x^2-4x=0 \rightarrow x=0, 2$이다.
넓이는 $\int_0^2 (2 - (2x^2-4x+2)) dx = \int_0^2 (-2x^2+4x) dx = \left[-\frac{2}{3}x^3 + 2x^2\right]_0^2 = -\frac{16}{3} + 8 = \frac{8}{3}$이다.

【풀이 과정 및 해설】

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
적분 상수를 활용한 $g(x)$ 다항식 유도	6점
관계식 미분을 통한 $f(x)$ 수식 유도	7점
정적분 정리를 활용한 넓이 연산	7점

수학 I 지수와 로그

💡 상세해설 및 모범답안

$$\log_a b - \log_b a = \frac{\log b}{\log a} - \frac{\log a}{\log b} = 0$$

$$\frac{(\log b)^2 - (\log a)^2}{\log a \log b} = \frac{(\log b + \log a)(\log b - \log a)}{\log a \log b} = 0$$

$a \ne b$이므로 $\log b - \log a \ne 0$이다. 따라서

$$\log b + \log a = \log ab = 0 \implies ab = 1$$

$a, b$가 $1$이 아닌 양수이므로 산술-기하 평균의 관계에 의하여

$$9a + 25b \ge 2\sqrt{9a \times 25b} = 2\sqrt{225 ab} = 2 \times 15 = 30$$

따라서 최솟값 $m = 30$이고, 등호는 $9a = 25b$일 때 성립한다.

$$ab = 1 \implies 9a = \frac{25}{a} \implies 9a^2 = 25 \implies a = \frac{5}{3}$$

따라서 이때의 $a = \alpha = \frac{5}{3}$이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
산술-기하 평균의 관계를 이용하여 최솟값 $m = 30$을 구함	4점
등호 성립 조건을 이용하여 $\alpha = \frac{5}{3}$를 정확히 구함	3점

수학 I 수열

💡 상세해설 및 모범답안

첫째항이 $2$이고 공차가 $3$인 등차수열 $\{a_n\}$의 일반항은 $a_n = 2 + (n-1)\times 3 = 3n - 1$이다.

$$\sum_{k=1}^{6} (a_k)^3 = \sum_{k=1}^{6} (3k-1)^3 = \sum_{k=1}^{6} (27k^3 - 27k^2 + 9k - 1)$$

$$= 27 \times \left(\frac{6 \times 7}{2}\right)^2 - 27 \times \frac{6 \times 7 \times 13}{6} + 9 \times \frac{6 \times 7}{2} - 6 = 9633$$

$13 S_n > 9633$에서 $S_n > 741$이다. 등차수열의 합 공식에 의해

$$S_n = \frac{n\{4 + 3(n-1)\}}{2} = \frac{n(3n+1)}{2} > 741$$

$$S_{22} = \frac{22 \times 67}{2} = 737, \quad S_{23} = \frac{23 \times 70}{2} = 805$$

이므로 부등식을 만족하는 자연수 $n$의 최솟값은 $23$이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
부등식 $S_n = \frac{n(3n+1)}{2} > 741$을 구함	4점
$S_{22} = 737$, $S_{23} = 805$임을 계산하여 $n$의 최솟값 $23$을 구함	3점

수학 II 정적분

💡 상세해설 및 모범답안

제1사분면에서 두 곡선 $|2x| + y = t \implies y = t - 2x$와 $y = x^2$의 교점의 $x$좌표는 $x^2 + 2x - t = 0$에서 $x = -1 + \sqrt{1+t}$이다.

두 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이 $S(t)$는

$$S(t) = 2 \int_{0}^{-1+\sqrt{1+t}} (t - 2x - x^2) dx = 2 \left[ tx - x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right]_0^{-1+\sqrt{1+t}}$$

$$= 2t(\sqrt{1+t}-1) - 2(\sqrt{1+t}-1)^2 - \frac{2}{3}(\sqrt{1+t}-1)^3$$

$$\lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{t}S(t)}{t^3} = \lim_{t \to \infty} \frac{S(t)}{t^{\frac{5}{2}}}$$

$$= \lim_{t \to \infty} \frac{2t^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}} + \cdots}{t^{\frac{5}{2}} \times t^{-1}} = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$$

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
정적분으로 $S(t)$ 식을 작성함	4점
$t \to \infty$일 때의 극한값 $\frac{4}{3}$를 구함	3점

수학 II 함수의 연속

💡 상세해설 및 모범답안

$$|x^2 - 2x| + x = \begin{cases} x^2 - x & (x \le 0) \\ -x^2 + 3x & (0 < x \le 2) \\ x^2 - x & (x > 2) \end{cases}$$

이고 $y = -x^2 + 3x = -\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{9}{4}$이므로 함수 $y = |x^2 - 2x| + x$의 $x = \frac{3}{2}$에서의 극댓값(최댓값)은 $\frac{9}{4}$이다.

따라서 교점의 개수 함수 $f(t)$는

$$f(t) = \begin{cases} 0 & (t < 0) \\ 1 & (t = 0) \\ 2 & (0 < t < 2) \\ 3 & (t = 2) \\ 4 & \left(2 < t < \frac{9}{4}\right) \\ 3 & \left(t = \frac{9}{4}\right) \\ 2 & \left(t > \frac{9}{4}\right) \end{cases}$$

함수 $f(t)$는 $t = 0, t = 2, t = \frac{9}{4}$에서 불연속이다. $g(t)$는 실수 전체에서 연속인 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수이므로 $f(t)g(t)$가 연속이려면

$$g(0) = 0, \quad g(2) = 0, \quad g\left(\frac{9}{4}\right) = 0$$

$$g(t) = t(t-2)\left(t - \frac{9}{4}\right)$$

$f(1) = 2$, $g(1) = 1(1-2)\left(1 - \frac{9}{4}\right) = \frac{5}{4}$이므로

$$f(1) + g(1) = 2 + \frac{5}{4} = \frac{13}{4}$$

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
연속성 조건으로부터 $g(t) = t(t-2)\left(t - \frac{9}{4}\right)$를 구함	3점
$f(1) + g(1) = \frac{13}{4}$를 정확히 구함	3점

수학 II 다항함수의 미분

💡 상세해설 및 모범답안

이차함수 $f(x)$의 최고차항의 계수가 $-\frac{1}{2}$이고 $x=8$에서 최댓값을 가지므로

$$f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 8x + c \quad (c\text{는 상수})$$

라 둘 수 있다. $f(x+1) - f(x) = -x + \frac{15}{2}$이므로

$$\left|f(x+1) - f(x) - \frac{7}{2}\right| = \left|-x + \frac{15}{2} - \frac{7}{2}\right| = |-x + 4|$$

$$g(x) = \begin{cases} -\frac{1}{2}x^2 + 8x + c & (x \le a) \\ |x-4| & (x > a) \end{cases}$$

만일 $a < 4$이면 $\lim_{x \to 4-} \frac{g(x)-g(4)}{x-4} = -1$, $\lim_{x \to 4+} \frac{g(x)-g(4)}{x-4} = 1$이므로 $g(x)$는 $x=4$에서 미분 불가능하고, 이는 가정에 모순이다.

$a \ge 4$일 때, $g(x)$가 $x=a$에서 연속이고 미분가능하려면

좌미분계수 $-a + 8$, 우미분계수 $1$에서 $-a + 8 = 1 \implies a = 7$

따라서 $f(a) = f(7) = g(7) = 7 - 4 = 3$이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
$x=a$에서 미분가능 조건으로부터 $a = 7$을 구함	4점
$f(a) = 3$을 정확히 구함	3점

수학 I 삼각함수

💡 상세해설 및 모범답안

$$f(x) = 2(-\cos x)^2 - 2\sin x + 5 = 2(1 - \sin^2 x) - 2\sin x + 5$$

$$= -2\sin^2 x - 2\sin x + 7 = -2\left(\sin x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{15}{2}$$

$\sin x = t$라 놓으면 $-1 \le t \le 1$이다.

$$f(t) = -2\left(t + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{15}{2}$$

$t = -\frac{1}{2}$일 때, 최댓값 $\alpha = \frac{15}{2}$이고,

$t = 1$일 때, 최솟값 $\beta = -2\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \frac{15}{2} = 3$이다.

따라서 $\alpha \beta = \frac{15}{2} \times 3 = \frac{45}{2}$이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
$-1 \le t \le 1$에서 최댓값 $\alpha = \frac{15}{2}$, 최솟값 $\beta = 3$을 구함	3점
$\alpha \beta = \frac{45}{2}$를 정확히 계산함	3점

📝 [문항 13번 해설] 샌드위치 정리와 극한

【정답 및 예시답안】

(1) $x \ne 0$일 때, 부등식을 $x$로 나눈다.
- $x > 0$일 때: $-2x + 2 \le \frac{f(x)}{x} \le x + 2$
- $x < 0$일 때: $x + 2 \le \frac{f(x)}{x} \le -2x + 2$
샌드위치 정리에 의해 $\lim_{x o 0} \frac{f(x)}{x} = 2$이다.
구하는 식의 분모 분자를 $x^2$으로 나누면:
$\lim_{x o 0} \frac{\{f(x)/x\}^2}{3 + f(x)/x} = \frac{2^2}{3 + 2} = \frac{4}{5}$이다.

(2) $x o -2$일 때 분모가 0으로 수렴하므로 분자 $\lim_{x o -2} \{f(x+2) - ax + b\} = f(0) + 2a + b = 0$이어야 한다.
원래 부등식에 $x=0$을 대입하면 $0 \le f(0) le 0 \rightarrow f(0) = 0$이므로, $b = -2a$이다.
부등식에 대입하면: $\lim_{x o -2} \frac{f(x+2) - a(x+2)}{(x+2)(x-2)}$ 이다.
$t = x+2$로 치환하면 $t o 0$이므로, $\lim_{t o 0} \frac{f(t) - at}{t(t-4)} = \lim_{t o 0} \frac{f(t)/t - a}{t-4} = \frac{2-a}{-4} = 4 \rightarrow 2-a = -16 \rightarrow a=18$이다.
$b = -2a = -36$이다.

【풀이 과정 및 해설】

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
치환 및 미정계수 연립 계산 과정 서술	2점

📝 [문항 14번 해설] 수열의 점화식과 합

【정답 및 예시답안】

(1) $2a_{n+1} + 3S_n = 10$ 이라 하자.
- $n=1$일 때: $2a_2 + 3a_1 = 10$
- $n \ge 2$일 때: $2a_n + 3S_{n-1} = 10$
두 식을 빼면: $2a_{n+1} + a_n = 0 \rightarrow a_{n+1} = -\frac{1}{2} a_n$ ($n \ge 2$) 이다.
즉, 제2항부터 공비가 $-\frac{1}{2}$인 등비수열을 이룬다.
일반항 $a_n = a_2 \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-2}$ ($n \ge 2$) 이다.
$a_{50} = a_2 \left(-\frac{1}{2}\right)^{48} = a_2 \left(\frac{1}{2}\right)^{48} = \left(\frac{1}{2}\right)^{43}$ 이므로, $a_2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-5} = 32$이다.

(2) $n=1$일 때 식 $2a_2 + 3a_1 = 10 \rightarrow 64 + 3a_1 = 10 \rightarrow 3a_1 = -54 \rightarrow a_1 = -18$이다.

(3) $ \sum _{k=1}^5 a_k = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = -18 + 32 - 16 + 8 - 4 = 2$이다.

【풀이 과정 및 해설】

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
첫째항 $a_1$ 도출	2점
5항까지의 최종합 계산	8점

📝 [문항 15번 해설] 로그방정식과 미정계수

【정답 및 예시답안】

(1) $\log x = X$라 하면, $X^2 - (a+2)X - a + 3 = 0$의 두 실근은 $\log p$, $\log q$이다.
근과 계수의 관계에 의하여:
- $\log p + \log q = a + 2$
- $\log p \cdot \log q = -a + 3$
$q = 10p \rightarrow \log q = \log p + 1$ 이다. 대입하면:
$2\log p + 1 = a + 2 \rightarrow a = 2\log p - 1$ 이다.
곱 식에 대입하면: $\log p(\log p + 1) = -(2\log p - 1) + 3 = -2\log p + 4$이다.
$\log p = Y$라 하면, $Y^2 + 3Y - 4 = 0 \rightarrow (Y+4)(Y-1) = 0 \rightarrow Y=-4$ 또는 $Y=1$이다.
- $Y = 1$ 이면 $a = 1$이 되어 음수 조건에 모순이다.
- $Y = -4$ 이면 $a = -9$가 되어 성립한다. 따라서 $a = -9$이다.

(2) $\log p = -4 \rightarrow p = 10^{-4}$이다.

(3) $\log q = -3 \rightarrow q = 10^{-3}$이다.

【풀이 과정 및 해설】

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
해 $p$ 도출	2점
해 $q$ 도출	8점

📝 [문항 16번 해설] 도형의 내분과 삼각비 넓이

【정답 및 예시답안】

(1) $S_1 = \frac{1}{2} imes 8 imes 6 = 24$이다. 피타고라스 정리에 의해 $AC=10$이다.
내분비 $1:m$에 의하여: $\overline{ext{PB}} = 8 imes \frac{m}{m+1}$, $\overline{ext{BQ}} = 6 imes \frac{1}{m+1}$이다.
삼각형 $ext{PBQ}$의 넓이는 $\frac{1}{2} \overline{ext{PB}} \cdot \overline{ext{BQ}} = \frac{24m}{(m+1)^2}$이다.

(2) $ext{Area}(ext{QCR}) = \frac{1}{2} \overline{ext{QC}} \cdot \overline{ext{CR}} \sin C$ 이고, $\sin C = \frac{8}{10}$이다.
대입하면: $\frac{1}{2} \left(6 imes \frac{m}{m+1}\right) \left(10 imes \frac{1}{m+1}\right) \left(\frac{8}{10}\right) = \frac{24m}{(m+1)^2}$이다.
$ext{Area}(ext{RAP}) = \frac{1}{2} \overline{ext{RA}} \cdot \overline{ext{AP}} \sin A$ 이고, $\sin A = \frac{6}{10}$이다.
대입하면: $\frac{1}{2} \left(10 imes \frac{m}{m+1}\right) \left(8 imes \frac{1}{m+1}\right) \left(\frac{6}{10}\right) = \frac{24m}{(m+1)^2}$이다. 따라서 두 넓이는 같다.

(3) 세 외곽 삼각형의 넓이는 모두 $\frac{24m}{(m+1)^2}$로 일치한다.
$S_2 = 24 - 3 imes \frac{24m}{(m+1)^2} = 12 \rightarrow 3 imes \frac{24m}{(m+1)^2} = 12 \rightarrow \frac{6m}{(m+1)^2} = 1 \rightarrow m^2 - 4m + 1 = 0$이다.
근의 공식에 의하여 $m = 2 \pm \sqrt{3}$ 이고, $m>1$이므로 $m = 2 + \sqrt{3}$이다.

【풀이 과정 및 해설】

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
사인 법칙 및 각의 삼각비를 활용한 넓이 증명 서술	2점
이차방정식 수식 전개 및 $m$ 도출	2점

📝 [문항 17번 해설] 주기함수의 연속과 극값

【정답 및 예시답안】

(1) $x=2$에서 연속이므로: $\lim_{x o 2^-} f(x) = c = \lim_{x o 2^+} f(x) = 2-8 = -6 \rightarrow c = -6$이다.
$x=0$과 $x=6$에서 경계 연속도 만족한다. ($f(0) = -6, \lim_{x o 6^-} f(x) = 18 - 24 = -6$). 따라서 $c = -6$이다.

(2) 한 주기 $[0, 6)$에서 도함수는 $f'(x) = \begin{cases} -2x+2 & (0 < x < 2) \\ x-4 & (2 < x < 6) \end{cases}$ 이다.
$x = 1$에서 극대 (부호 $+ o -$), $x = 4$에서 극소 (부호 $- o +$)를 가진다.
극소점 $a_k = 4 + 6k$ 이고, 범위 $-100 < 4 + 6k < 100 \rightarrow -17.33 < k < 16$ 이므로 $k = -17 \sim 15$ (총 33개)이다.
$ \sum _{k=1}^{33} a_k = 4 imes 33 + 6 \sum _{k=-17}^{15} k = 132 + 6(-33) = -66$이다.

(3) 극대점 $b_k = 1 + 6k$ 이고, 범위 $-100 < 1 + 6k < 100 \rightarrow -16.83 < k < 16.5$ 이므로 $k = -16 \sim 16$ (총 33개)이다.
$ \sum _{k=1}^{33} |b_k| = \sum _{k=-16}^{-1} (-6k-1) + \sum _{k=0}^{16} (6k+1) = 800 + 833 = 1633$이다.

【풀이 과정 및 해설】

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
극소 조건 분석 및 등차수열 합 연산	4점
극대 절대값 범위 판정 및 최종 합산	6점

📝 [문항 18번 해설] 정적분 함수의 식 전개와 최솟값

【정답 및 예시답안】

(1) $\int_0^a f(x)dx = \int_0^1 (-x^2+1)dx + \int_1^a (3x^2-3)dx = \frac{2}{3} + [x^3-3x]_1^a = a^3 - 3a + \frac{8}{3}$이다.
$a^3 - 3a + \frac{8}{3} = \frac{14}{3} \rightarrow a^3 - 3a - 2 = 0 \rightarrow (a-2)(a+1)^2 = 0$ 이고, $a \ge 1$이므로 $a = 2$이다.

(2) $x+1$의 범위는 $1 < x+1 \le 3$이므로 1을 경계로 나뉜다.
- $0 < x \le 1$ 일 때: $S(x) = \int_x^1 (-t^2+1)dt + \int_1^{x+1} (3t^2-3)dt = \frac{4}{3}x^3+3x^2-x+\frac{2}{3}$이다.
- $1 \le x \le 2$ 일 때: $S(x) = \int_x^{x+1} (3t^2-3)dt = 3x^2+3x-2$이다.

(3) - $0 < x < 1$ 구간: $S'(x) = 4x^2 + 6x - 1 = 0 \rightarrow x = \frac{-3+\sqrt{13}}{4}$에서 극소이다.
- $1 \le x \le 2$ 구간: $S'(x) = 6x + 3 > 0$ 이므로 계속 증가한다.
따라서 함수 $S(x)$의 최솟값은 극소점인 $b = \frac{-3+\sqrt{13}}{4}$에서 발생한다.

【풀이 과정 및 해설】

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
구간별 함수 $S(x)$ 식 유도	6점
미분을 이용한 극소 판정 및 최솟값 도출 과정 서술	7점

📝 [수학 10번 문항]

📝 [수학 11번 문항]

📝 [수학 12번 문항]

📝 [수학 13번 문항]

📝 [수학 14번 문항]

📝 [수학 15번 문항]

📝 [수학 10번 문항]

📝 [수학 11번 문항]

📝 [수학 12번 문항]

📝 [수학 13번 문항]

📝 [수학 14번 문항]

📝 [수학 15번 문항]

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