첫 번째 극한 식을 정리하여 $f(x) = -x^3 + 5x^2 + ax + b$ 꼴로 수립
4점
두 번째 극한 식을 인수분해하여 $f(0)=0$, $f'(0)=-4$를 통해 $f(x) = -x^3 + 5x^2 - 4x$ 도출
4점
구하고자 하는 식에 $f(x)$를 대입 및 약분하여 극한값 $1$ 최종 도출
2점
📝 [수학 13번 문항]
2026학년도 기출해설
수학Ⅱ미분가능성
💡 상세 해설 및 모범 답안
1) 상수항이 $0$이므로 $f(0) = 0$ 입니다. 곡선 위의 점 $(0,0)$에서의 접선의 방정식은 $y = f'(0)x$ 가 되고, 이 접선이 점 $\left(-\frac{1}{3}, -3\right)$ 을 지나므로: $-3 = f'(0) \left(-\frac{1}{3}\right) \implies f'(0) = 9$ 입니다. 2) 조건 (나)에 의해 $f'(x) = 3a(x + 3k)(x - k) = 3ax^2 + 6akx - 9ak^2$ 입니다. $f'(0) = -9ak^2 = 9 \implies $a_k$^2 = -1 \implies a = -\frac{1}{k^2}$ 입니다. $k$가 자연수이므로 $a < 0$ 이며, $f(x)$는 $x = -3k$에서 극솟값, $x = k$에서 극댓값을 가집니다. 3) 적분을 통해 삼차함수식을 구하면 $f(x) = ax^3 + 3akx^2 - 9ak^2 x$ 이며, 극댓값은: $f(k) = $a_k$^3 + 3ak^3 - 9ak^3 = -5ak^3 = -5\left(-\frac{1}{k^2}\right)k^3 = 5k$ 입니다. 조건 (다)에서 $t=5$ 주변에서 미분불가능 개수 $h(t)$의 좌/우극한과 함숫값의 합이 $5$가 되려면 $5$가 극댓값이어야 하므로: $5k = 5 \implies k = 1$ 이고 $a = -1$ 입니다. 따라서 삼차함수는 $f(x) = -x^3 - 3x^2 + 9x$ 가 됩니다. 4) 구하고자 하는 함숫값은: $f(2) = -2^3 - 3(2^2) + 9(2) = -8 - 12 + 18 = -2$ 입니다.
🎯 채점 기준 및 배점:
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
점 $(0,0)$에서의 접선 정보 및 미분계수를 통해 $f'(0)=9$ 및 최고차항 계수 $a = -\frac{1}{k^2}$ 도출
4점
미분불가능점 개수의 합 조건을 해석하여 극댓값이 $5$임을 규명하고 $k=1$ 및 함수식 $f(x) = -x^3 - 3x^2 + 9x$ 결정
4점
최종 함수값 $f(2) = -2$ 정확히 연산
2점
📝 [수학 14번 문항]
2026학년도 기출해설
수학Ⅰ삼각함수와 도형
💡 상세 해설 및 모범 답안
1) 삼각형의 변을 $a = \overline{BC}$, $b = \overline{AC}$, $c = \overline{AB}$라 하면, 조건 (가)는 $a \cos C - c \cos A = b$ 입니다. 삼각형의 제일사인법칙 $b = a \cos C + c \cos A$ 를 대입하면: $a \cos C - c \cos A = a \cos C + c \cos A \implies -2c \cos A = 0$ 이고, $c > 0$ 이므로 $\cos A = 0$ 입니다. 따라서 $0 < A < \pi$ 이므로 $\angle A = 90^\circ$ 입니다. 2) 삼각형 내각의 합 $A + B + C = \pi \implies A + C = \pi - B$ 이므로, $\frac{A-B+C}{2} = \frac{\pi - 2B}{2} = \frac{\pi}{2} - B$ 입니다. 이를 조건 (나)에 대입하면: $\frac{1}{2} \sin A = \sin\left(\frac{\pi}{2} - B\right) \sin C = \cos B \sin C$ 입니다. $A = 90^\circ$ 이므로 $\sin A = 1$ 이고, $C = 90^\circ - B \implies \sin C = \cos B$ 가 성립하므로: $\frac{1}{2} = \cos^2 B \implies \cos B = \frac{1}{\sqrt{2}} \implies \angle B = 45^\circ$ 입니다. 따라서 $\angle C = 45^\circ$ 이며, 삼각형 $ABC$는 직각이등변삼각형입니다. 3) 빗변의 길이 $a = 7$ 이므로, 구하고자 하는 변의 길이는: $\overline{AB} = c = 7 \sin 45^\circ = \frac{7\sqrt{2}}{2}$ 입니다. 따라서 $\angle A = 90^\circ$, $\overline{AB} = \frac{7\sqrt{2}}{2}$ 입니다.
🎯 채점 기준 및 배점:
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
제일사인법칙을 대입해 식을 정리하고, $\cos A = 0 \implies \angle A = 90^\circ$ 도출
4점
각도 합 성질 및 삼각함수 공식을 활용해 $\angle B = \angle C = 45^\circ$ 인 직각이등변삼각형 조건 규명
4점
삼각형 빗변 $7$을 이용하여 변의 길이 $\overline{AB} = \frac{7\sqrt{2}}{2}$ 도출
점 P의 시각 $t$ ($t > 0$)에서의 속도를 $v(t)$라 하면 $v(t) = x'(t) = 6t^4 - 20t^3 + 12t^2 + (6-m)$ 이다. 점 P가 출발한 후 운동 방향이 두 번만 바뀌려면 $t > 0$ 에서 $v(t) = 0$ 이 중근이 아닌 서로 다른 두 실근을 가져야 한다. $v'(t) = 24t^3 - 60t^2 + 24t = 12t(t-2)(2t-1) = 0$ 에서 극값을 가질 수 있는 시각은 $t = 0$, $t = \frac{1}{2}$, $t = 2$ 이다. $v(0) = 6-m$, $v\left(\frac{1}{2}\right) = 6\left(\frac{1}{16}\right) - 20\left(\frac{1}{8}\right) + 12\left(\frac{1}{4}\right) + 6 - m = \frac{3}{8} - \frac{5}{2} + 3 + 6 - m = \frac{55}{8} - m$, $v(2) = 6(16) - 20(8) + 12(4) + 6 - m = 96 - 160 + 48 + 6 - m = -10 - m$ 이다. $v(0) > v(2)$ 이므로 $v(t)$는 $t = \frac{1}{2}$ 에서 극댓값을 갖고, $t = 2$ 에서 극솟값이자 최솟값을 갖는다. $t > 0$ 에서 $v(t) = 0$ 이 중근이 아닌 서로 다른 두 실근을 가지려면 극솟값(최솟값)은 $0$보다 작고 극댓값(또는 $t=0$에서의 속도)은 $0$보다 크거나 같아야 한다. 즉, $v(2) = -10 - m < 0 \implies m > -10$ 이고, $v(0) = 6 - m \ge 0 \implies m \le 6$ 이어야 한다. 따라서 구하고자 하는 $m$의 범위는 $-10 < m \le 6$ (또는 $(-10, 6]$)이다.
$y=x^3$ 과 $y=\sqrt{2x}$ 의 교점의 $x$좌표는 다음을 만족한다. $x^3 = \sqrt{2x}$. 따라서 $A$점의 $x$좌표는 $2^{\frac{1}{5}}$ 이다. 따라서 $A$점의 $y$좌표는 $2^{\frac{3}{5}}$ 이다. 삼각형 $AOH$의 넓이는 $\frac{1}{2} \times \overline{OH} \times \overline{AH} = \frac{1}{2} 2^{\frac{1}{5}} 2^{\frac{3}{5}} = 2^{-\frac{1}{5}}$ 이다. 따라서, $a^2+b^2 = 1+25 = 26$ 이다.
🎯 채점 기준 및 배점:
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
지수/로그의 밑 조건 및 방정식/부등식 조건 분석
3점
밑 변환 및 로그 성질을 이용한 식 전개
3점
연립 방정식 해 구하기 및 최종 결론
4점
📝 [수학 11번 문항]
2023학년도 기출해설
수학Ⅰ삼각함수
💡 상세 해설 및 모범 답안
$6\cos\theta - \frac{1}{\cos\theta} = 1$ 로부터 $6\cos^2\theta - \cos\theta - 1 = 0$ 이다. 따라서 $\cos\theta = \frac{1}{2}, -\frac{1}{3}$ 이다. 주어진 범위를 만족하는 것은 $\cos\theta = \frac{1}{2}$ 이다. 따라서 $\sin\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ 이므로, $\sin\theta \cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{4}$ 이다.
🎯 채점 기준 및 배점:
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
삼각함수의 성질 및 항등식 적용하기
3점
삼각방정식 풀이 및 미지수 조건 분석
3점
최종 각도 또는 삼각비의 값 도출
4점
📝 [수학 12번 문항]
2023학년도 기출해설
수학Ⅰ수열
💡 상세 해설 및 모범 답안
$a_7 = 4$ 이므로 홀짝수에 따라 $a_6 = 1, 8$ 이다. 1. $a_6 = 1$ 의 경우, 짝수만 가능하므로 $a_5 = 2$ 이다. $a_5 = 2$ 의 경우, $a_4 = 4$ 인 짝수 경우만 존재. $a_4 = 4$ 는 $a_3 = 1, 8$ 홀수, 짝수 2가지 경우 존재. 1) $a_3 = 1$ 일 때, $a_2 = 2$ 짝수 경우만 존재. $a_1 = 4$ 이다. 합: $4+2+1+4+2+1=14$, $S_6 = 14$ 이다. 2) $a_3 = 8$ 일 때, $a_2 = 16$ 짝수 경우만 존재. $a_1 = 5$ 또는 $a_1 = 32$ 는 2가지 중 $5$가 최소. 합: $5+16+8+4+2+1=36$, $S_6 = 36$ 이다. 따라서, $S_6$의 최솟값은 ① $14$ 이다. 2. $a_6 = 8$ 의 경우, $a_5 = 16$만 존재하고, $a_4 = 5, 32$ 이다. $a_6 = 8$ 일 때, $a_5+a_4 \ge 24 >$ ① $14$ 이므로 $a_6 = 1$ 일 때의 $S_6$이 최솟값을 갖는다. 따라서 $S_6$이 최솟값을 갖는 수열 $\{a_n\}$은 $4, 2, 1, 4, 2, 1...$ 이므로 ③ $4, 2, 1$ 이다. 따라서 $S_{20}$의 최솟값은 $(4+2+1) \times 6 + (4+2) = $ ④ $48$ 이다.
🎯 채점 기준 및 배점:
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
수열의 일반항 식 세우기 및 초기 조건 도출
3점
수열의 합 또는 점화식의 규칙성 추론
3점
최종 항 또는 합의 값 도출
4점
📝 [수학 13번 문항]
2023학년도 기출해설
수학Ⅱ다항함수의 적분법
💡 상세 해설 및 모범 답안
$g(x) = -6x + \int_0^1 f(t)\, dt$ 에서 $\int_0^1 f(t)\, dt = a$ 라 하면, $g(x) = -6x + a$ 이다. $f(x) = 3x^2 + 2x \int_0^1 tg(t)\, dt = 3x^2 + 2x \int_0^1 t(-6t+a)\, dt = 3x^2 + 2x\left(-2+\frac{1}{2}a\right)$ 이다. $\int_0^1 f(t)\, dt = \int_0^1 \left(3t^2 + 2t\left(-2+\frac{1}{2}a\right)\right)\, dt = 1 + \left(-2+\frac{1}{2}a\right) = -1 + \frac{1}{2}a$ 이다. 따라서, $-1 + \frac{1}{2}a = a \implies a = -2$ 이다. $f(x) = 3x^2 - 6x$, $g(x) = -6x - 2$ 이다. 따라서 $f(x)+g(x) = 3x^2 - 12x - 2 = 0$ 이고, 판별식 $D > 0$ 이므로 두 실근의 합은 $4$이다.
$f(t) = x_1 - x_2 = 3t^4 - 8t^3 - 30t^2 + 72t + d$ 라 하면 $f'(t) = 12t^3 - 24t^2 - 60t + 72 = 12(t-1)(t-3)(t+2)$ 이므로 $t=-2, 1, 3$ 에서 극값을 갖는다. $f(0)=d$, $f(1)=37+d$, $f(3)=-27+d$, $f(4)=64+d$ $d \le 0$ 이고 $|f(t)|$의 최솟값이 $0$이 아니므로 닫힌구간 $[0, 4]$에서 $f(t) < 0$ 이다. 그러므로 $|f(t)|$는 $t=4$에서 최솟값을 갖고 $t=3$에서 최댓값을 갖는다. $64+d = -3$ 에서 $d=-67$ 이므로 최댓값은 $|d-27| = |-67-27| = 94$ 이다. 이 때 $Q$의 속도는 $24t^2 + 12t - 21$ 이므로 $24 \times 3^2 + 12 \times 3 - 21 = 231$ 이다.
🎯 채점 기준 및 배점:
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
함수 미분하기 및 도함수 조건 설정
3점
접선의 방정식 또는 극값 조건을 만족하는 미지수 계산
3점
최종 함숫값 및 기하학적 넓이 계산
4점
📝 [수학 10번 문항]
2022학년도 기출해설
수학Ⅱ적분
💡 상세 해설 및 모범 답안
두 곡선 $y=f(x)$, $y=g(x)$는 역함수 관계이므로 직선 $y=x$에 대하여 대칭이다. 따라서 두 곡선의 교점은 $f(x) = x$인 방정식 $ax^2 = x$의 해와 같으므로, $x \ge 0$ 범위에서 교점의 $x$좌표는 $x=0$과 $x = \frac{1}{a}$ 이다. ([①]) 두 곡선으로 둘러싸인 넓이 $S$는 $y=x$와의 대칭성에 의해 다음의 정적분으로 나타낼 수 있다. $S = 2 \int_{0}^{\frac{1}{a}} (x - ax^2) \, dx$ ([②]) 정적분을 실제로 계산하면 다음과 같다. $S = 2 \left[ \frac{1}{2}x^2 - \frac{a}{3}x^3 \right]_{0}^{\frac{1}{a}} = 2 \left( \frac{1}{2a^2} - \frac{1}{3a^2} \right) = 2 \left( \frac{1}{6a^2} \right) = \frac{1}{3a^2}$ ([③]) 넓이 $S = \frac{3}{4}$ 이므로, $\frac{1}{3a^2} = \frac{3}{4} \implies a^2 = \frac{4}{9} \implies a = \frac{2}{3}$ ($0[④])
🎯 채점 기준 및 배점:
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
조건 해석 및 수식 초기화
2점
피적분함수 설정 및 정적분 식 세우기
4점
치환/부분적분 또는 기본 정적분 계산 과정
2점
최종 넓이 또는 적분값 도출
2점
📝 [수학 11번 문항]
2022학년도 기출해설
수학Ⅱ지수 로그
💡 상세 해설 및 모범 답안
$A \subset B$ 이므로 $3\log_2 a - 2\log_2 b = 1$ 이다. 이를 정리하면 $\log_2 \frac{a^3}{b^2} = 1 \implies a^3 = 2b^2 \quad \cdots \text{(①)}$ 이다.또한 주어진 조건에서 $\log_a b = \frac{3}{2}$ 또는 $\log_a b = 2$ 이다.1) $\log_a b = \frac{3}{2}$ 일 때, $b = a^{\frac{3}{2}}$ 이다. 이를 ①에 대입하면 $a^3 = 2\left(a^{\frac{3}{2}}\right)^2 = 2a^3$ 이므로 $a = 0$ 이 되어 $a > 0, a \ne 1$ 조건을 만족하지 않는다.2) $\log_a b = 2$ 일 때, $b = a^2$ 이다. 이를 ①에 대입하면 $a^3 = 2\left(a^2\right)^2 = 2a^4$ 이다. $a \ne 0$ 이므로 양변을 $a^3$으로 나누면 $1 = 2a \implies a = \frac{1}{2}$ 이다. 이때 $b = a^2 = \frac{1}{4}$ 이다.따라서 구하고자 하는 값은 $ab^2 = a \cdot b^2 = \frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{32}$ 이다.
🎯 채점 기준 및 배점:
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
$\log_2 \frac{a^3}{b^2} = 1$ 또는 $a^3 = 2b^2$ 도출
2점
$\log_a b = \frac{3}{2}$ 일 때 $a=0$으로 불만족 판정, $\log_a b = 2$ 일 때 $a=\frac{1}{2}, b=\frac{1}{4}$ 도출
3점
$ab^2 = \frac{1}{32}$ 도출
2점
📝 [수학 12번 문항]
2022학년도 기출해설
수학Ⅱ삼각함수
💡 상세 해설 및 모범 답안
$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$ 이고, 이차방정식의 근과 계수와의 관계로부터 $\sin\theta + \cos\theta = \frac{k+2}{k}$, $\sin\theta\cos\theta = \frac{k+1}{k}$ 이다. 이를 관계식에 대입하면 다음과 같다.$$
\begin{aligned}
\left(\frac{k+2}{k}\right)^2 = 1 + 2\left(\frac{k+1}{k}\right) \implies \frac{k^2+4k+4}{k^2} \\
= \frac{3k+2}{k}
\end{aligned}
$$양변에 $k^2$을 곱하여 정리하면, $k^2+4k+4 = 3k^2+2k \implies 2k^2-2k-4 = 0 \implies (k-2)(k+1) = 0$ 이므로, $k=2$ 또는 $k=-1$ 이다.1) $k=2$ 이면 $\sin\theta\cos\theta = \frac{3}{2} > 1$ 이 되어 존재할 수 없으므로 부적합하다.2) $k=-1$ 이면 $\sin\theta + \cos\theta = -1$ 이고 $\sin\theta\cos\theta = 0$ 이다.$0 \le \theta \le \pi$ 에서 이를 만족하는 $\theta$는 $\theta = \pi$ 이다.
🎯 채점 기준 및 배점:
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
$\sin\theta + \cos\theta = \frac{k+2}{k}$, $\sin\theta\cos\theta = \frac{k+1}{k}$ 수립
1점
$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$ 관계식 이용
수열 $a_n$의 관계식을 이용하여 각 항을 $a_4=\alpha, a_5=-\alpha$로 표현
3점
$a_{n+6} = a_n$ 주기성 및 한 주기(6개)의 합이 $0$임을 확인
2점
$S_1 = a_1 > 0$ 으로부터 $\alpha < 0$ 판정
3점
한 주기 내에서 $S_n < 0$을 만족하는 $n$의 조건 ($n=3, 4, 5$) 도출
3점
$300$ 이하의 자연수 중 만족하는 $n$의 개수 $150$개 최종 도출
2점
📝 [수학 14번 문항]
2022학년도 기출해설
수학Ⅱ극한
💡 상세 해설 및 모범 답안
$x=1$에서 함수 $f(x)$가 연속이 되기 위해서는 $\lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x+1}-a}{x-1} = f(1) = \frac{1+b}{\sqrt{2}}$ 가 성립해야 한다.극한값 $\lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x+1}-a}{x-1}$가 존재하므로, $x \to 1^+$일 때 (분자) $\to 0$ 이어야 한다. 즉, $\sqrt{2}-a=0 \implies a=\sqrt{2}$ 이다.따라서 극한값을 구하면 다음과 같다.$\lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x+1}+\sqrt{2})} = \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$이때 $\frac{1+b}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$ 이므로, $1+b = \frac{1}{2} \implies b = -\frac{1}{2}$ 이다.
🎯 채점 기준 및 배점:
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
$a=\sqrt{2}$ 또는 $\lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x+1}-a}{x-1} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$
3점
$\lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{x-1} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$ 또는 $f(1) = \frac{1+b}{\sqrt{2}}$
3점
$b=-\frac{1}{2}$
2점
📝 [수학 15번 문항]
2022학년도 기출해설
수학Ⅱ미분
💡 상세 해설 및 모범 답안
두 점 $P, Q$의 위치의 차는 $x_1(t) - x_2(t) = t^3 - 6t^2 + 9t = t(t-3)^2$ 이므로, 두 점이 만나는 시각은 $t=0$ 또는 $t=3$ 이다. 따라서 처음으로 만나는 순간 $t_b = 3$ 이다.한편, 두 점 $P, Q$의 시각 $t$에서의 속도는 각각 다음과 같다.$v_1(t) = \frac{d}{dt}x_1(t) = 9t^2 - 6t + 7$$v_2(t) = \frac{d}{dt}x_2(t) = 6t^2 + 6t - 2$두 점의 속도가 같아지는 조건 $v_1(t) - v_2(t) = 0$ 에서,$3t^2 - 12t + 9 = 3(t-1)(t-3) = 0$이를 만족하는 시각은 $t=1$ 또는 $t=3$ 이므로, 처음으로 속도가 같아지는 순간 $t_a = 1$ 이다.